Aufgabe:
2.4 Gegeben sind die folgenden komplexen rationalen Funktionen:
$$ G(s)=\frac{1}{s\left(1+T_{0} s\right)} \text { und } $$
\( \ H(s)=\frac{\left(1+T_{1} s\right)}{\left(1+T_{2} s\right)\left(1-T_{3} s\right)} \) mit \( s \in \mathrm{C} \) und \( T_{i} \in \mathbb{R}^{+} \)
Berechnen Sie den Betrag und die Phase dieser Funktionen, wenn \( s \) eine rein imaginäre, nicht negative Zahl ist, also \( s=j \omega ; \omega \geq 0 \) gilt.
Problem/Ansatz:
\( \begin{aligned}\left.G(s)\right|_{s=j w} &=\frac{1}{(j w)\left(1+j w T_{0}\right)}=\frac{1}{w} \cdot e^{-j \frac{\pi}{2}} \cdot \frac{1}{\left(1-\left(w T_{0}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \cdot e^{-j t_{0} n^{-1}\left(w T_{0}\right)} \\ &=\frac{1}{w\left(1+\left(w T_{0}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \cdot \epsilon^{-j\left(\frac{T}{2}+\tan ^{-1}\left(u T_{0}\right)\right)} \\ \Rightarrow|G(j w)| &=\frac{1}{w\left(1+\left(w T_{0}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} ; \arg \{G(j w)\}=-\left(\frac{\pi}{2}+\tan ^{-1}\left(w T_{0}\right)\right) \\ &=\frac{\left(1+j w T_{1}\right)}{\left(1+j w T_{2}\right)\left(1-j w T_{3}\right)^{2}} \cdot e^{j\left(t \tan -1\left(w T_{1}\right)-t \tan ^{-1}\left(w T_{2}\right)-t \tan ^{-1}\left(w T_{3}\right)\right)} \\ &\left.=\frac{1+\left(w T_{1}\right)^{2}}{\left(1+\left(w T_{2}\right)^{2}\right)\left(1+\left(w T_{3}\right)^{2}\right.}\right)^{\frac{1}{2}} \\ \arg \{H(j w)\} &=\tan ^{-1}\left(w T_{1}\right)-\tan ^{-1}\left(w T_{2}\right)-\tan ^{-1}\left(w T_{3}\right) \end{aligned} \)
Ich verstehe in der gegebenen Lösung die Umformung nicht. Was wurde dort gemacht? Ich bräuchte nur einen Tipp damit Ich dann weiß nach was Ich suchen muss.
