Aufgabe:
Betrachte die Kurve γ={r(t)|t∈[0,τ]} mit der Parametrisierung
r: [0,τ] —> R^2, t impliziert r(t)= (e^ct cos(wt), e^ct sin(wt))T
wobei τ,w >0 und c∈R beliebe Konstanten sind. Für das Beispiel τ=8π/w und c=1/τ ist die entsprechende Kurve γ in der folgenden Abbildung dargestellt.
a.)Sei nun (nur in Aufgabenteil a)) τ=3π/w und x=-2/τ. Wie lauten Startpunkt r(0) und Endpunkt r(τ)? Skizzieren sie die Kurve γ qualitativ für diesen Fall.
b.) Berechnen sie den Betrag der Geschwindigkeitskurve ||r‘(t)||.
c.) Berechnen sie für das Intervall [0,t] die Bogenlänge der Kurve
s(t)= ∫0 bis t du ||r‘(u)||.
d.) Bestimmen sie die natürliche Parametrisierung rL(s)=r(t(s)), d.h parametrisieren sie die Kurve γ nach der Bogenlänge.
e.) Verifizieren sie explizit, dass für die natürliche Parametrisierung gilt, dass ||drL(s)/ds||=1
Problem/Ansatz:
Weiß gar nicht, wie ich die Aufgaben bearbeiten soll? Habe in Büchern nachgeschaut und auch versucht Beispiele zu finden, aber irgendwie stehe ich auf dem schlau. Ich hoffe jemand kann mir helfen.
Vielen Dank.
