Hallo. Seit Stunden versuche ich mich an einer Aufgabe, bei der ich leider keinen Ansatz habe.
Die Aufgabe lautet:
Aufgabe:
$$ \text{Sei } n \in \mathbb{N}_{0} \; \text{und} \; a, b \in \mathbb{R} \; \text{mit} \; a < b$$.
$$\text{Sei } I_{n}(f) \; \text{eine Quadraturformel der Ordnung}\; n \; \text{mit paarweise verschiedenen Stützstellen} \; x_{i} \; \text{und Gewichten} \; \alpha_{i} > 0 \; \text{für}\; i \in \{0, 1, \ldots,n \}$$.
$$\; \text{Zeigen Sie, dass für Funktionen} \; f \in C([a, b]) \; \text{gilt:} \; $$
$$\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert \le 2 (b - a) \inf\limits_{p \in P_{n}} \vert \vert f - p \vert \vert_{C([a, b])}$$,
$$ \; \text{wobei} \; P_{n} \; \text{der Raum der Polynome über} \; \mathbb{R}\; \text{vom Grad} \; \le n\; \text{bezeichnet} \; $$.
Problem/Ansatz
Ich komme mit der Aufgabe nicht wirklich voran.
Mein Ansatz dazu (kann man nicht mal Ansatz nennen) ist, erst mal die Dreiecksungleichung zu verwenden:
$$\left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{n}(f) \right \vert = \left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx - \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert \le \left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx \right \vert + \left \vert \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert $$
$$\; \text{jetzt weiß ich aber nicht, wie ich die Summanden} \; \left \vert \int_{a}^{b} f(x) dx \right \vert\; \text{und} \;\left \vert \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert\; \text{weiter abschätzen kann} \; $$.
$$ \; \text{Ich hatte am Anfang in den Sinn, dass ich den Summanden} \; \left \vert \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert \; \text{durch} \; 2(b - a) = 2 \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} \; \text{abschätzen kann, aber das haut nicht hin, da bei} \; \left \vert \sum\limits_{i = 0}^{n} \alpha_{i} f(x_{i}) \right \vert\; \text{die Funktionswerte} \; f(x_{i})\; \text{ auch alle größer als} \; 1 \; \text{sein können} ;.$$
Das wäre super.
Freue mich auf eine Antwort.
