Wollte mal um eine Kontrolle bei folgender Aufgabe bitten:
Zeigen Sie, dass f ℚ-linear ist:
$$ f: \mathbb{Q}^3 \rightarrow \mathbb{Q}^2, \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+y\\y-z \end{pmatrix} \\ \text{Meine Rechnung:} \\ \text{Zu zeigen:} \qquad \forall v,w\in\mathbb{Q}^3, \alpha\in\mathbb{Q}: \ f \left( \alpha \cdot v + w \right) = \alpha \cdot f \left(v \right) + f \left(w \right) \\ Seien \ v:=\begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix} und \ w:= \begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix} \\ \text{Dann gilt:} \quad f( \alpha \cdot v + w) = f \left(\alpha\cdot \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{pmatrix}\right) = f \left(\begin{pmatrix} \alpha \cdot x_1 + x_2\\\alpha\cdot y_1 + y_2\\ \alpha\cdot z_1 + z_2 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} (\alpha \cdot x_1 + x_2) + (\alpha\cdot y_1 + y_2)\\(\alpha\cdot y_1 + y_2) - (\alpha\cdot z_1 + z_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \cdot ( x_1 + y_1) + (x_2 + y_2)\\\alpha \cdot (y_1 - z_1) + (y_2 - z_2) \end{pmatrix} = \alpha \cdot \begin{pmatrix} x_1 + y_1\\y_1 - z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 + y_2\\y_2 - z_2 \end{pmatrix} = \alpha \cdot f \left(v\right) + f(w) \\[20pt] \Longrightarrow \text{f ist ℚ-linear }$$
