0 Daumen
4,8k Aufrufe
Ich habe da eine Frage zur integralrechnung bei Volumen

Moin an alle netten Helfer. Ich habe hier eine Aufgabe wo ich keine Ahnung habe was ich machen soll.

Ich habe zwei Graphen gegeben: f:x → 0,5x und g:x → -2x^2+4x

Die eingeschlossene Fläche rotiert um die x-Achse.

Wie berechne ich das entstehende Volumen des Rotationskörpers?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Nun, zunächst musst du die Schnittpunkte der beiden Graphen bestimmen (es genügen die x-Koordinaten), denn das sind die Grenzen für die nachfolgende Integration. Also:

f ( x ) = g ( x )

<=> 0,5 x = - 2 x 2 + 4 x

<=> 2 x 2 - 3,5 x = 0 

<=> x ( 2 x - 3,5 ) = 0

Satz vom Nullprodukt anwenden, also:

<=> x = 0 oder 2 x - 3,5 = 0

<=> x = 0 oder x = 1,75

Nun wendest du die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei bekannter "Randfunktion" an. Da g ( x ) innerhalb der berechneten Grenzen an allen Stellen x (bis auf die Schnittstellen) größer als f ( x ) ist, bestimmt g ( x ) die äußere Form des entstehenden Rotationskörpers. Von diesem ist das Volumen des "inneren" Körpers zu subtrahieren, dessen Randfunktion durch f ( x ) gegeben ist.

Die Formel für das Volumen V eines Rotationskörpers mit Randfunktion f ( x ) ist:

$$V=\pi \int _{ a }^{ b }{ { (f(x) ) }^{ 2 } }$$

Das in der Aufgabenstellung gesuchte Volumen V ist also:

$$V=\pi \int _{ a }^{ b }{ { (g(x)) }^{ 2 }dx } -\pi \int _{ a }^{ b }{ { (f(x)) }^{ 2 }dx } =\pi \int _{ a }^{ b }{ { (g(x)) }^{ 2 }-{ (f(x)) }^{ 2 }dx }$$

Konkrete Werte einsetzen:

$$V=\pi \int _{ 0 }^{ 1,75 }{ { (-2{ x }^{ ² }+4x) }^{ 2 }-{ (0,5x) }^{ 2 }dx }$$$$=\pi \int _{ 0 }^{ 1,75 }{ { 4{ x }^{ 4 }-16{ x }^{ 3 }+16x }^{ 2 }-{ 0,25x }^{ 2 }dx }$$$$=\pi \int _{ 0 }^{ 1,75 }{ { 4{ x }^{ 4 }-16{ x }^{ 3 }+15,75x }^{ 2 }dx }$$$$=\pi { \left[ \frac { 4 }{ 5 } { x }^{ 5 }-4{ x }^{ 4 }+5,25{ x }^{ 3 } \right]  }_{ 0 }^{ 1,75 }$$$$=\pi \left( { \left[ \frac { 4 }{ 5 } { 1,75 }^{ 5 }-4{ *1,75 }^{ 4 }+5,25{ *1,75 }^{ 3 } \right]  }-{ \left[ \frac { 4 }{ 5 } 0^{ 5 }-4*{ 0 }^{ 4 }+5,25*{ 0 }^{ 3 } \right]  } \right)$$$$=\pi (3,7515625-0)$$$$=11,79$$

Avatar von 32 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community