Homogene Transformationsmatrix zwischen zwei Koordinatensystemen aufstellen?

Question

Aufgabe:

Ich habe ein globales Koordinatensystem A. Ich kenne die Position(Xa) eines Punktes X in meinem Koordinatensystem A. 
Nun Bekomme ich die Koordinaten(in A) eines zweiten Koordinatensystem B:
U(Ursprung) = [u1, u2, u3]
B1(XAchse) = [b1x, b1y, b1z]
B2(YAchse)
B3(ZAchse)

Ich würde jetzt gerne die Position meines Punktes X gegenüber meines Koordinatensystem B berechnen.

Problem/Ansatz:

Also ich würde zuerst eine homogene Transformationsmatrix aufstellen:

$$\begin{pmatrix} r11 & r12 & r13 & t1\\ r21 & r22 & r23 & t2\\ r31  & r32 & r33 & t3 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

r ist meine Rotationsmatrix und t meine Translationsvektor.
t = U

Ich weiß ich nicht, wie ich meine Rotationsmatrix r, mithilfe der gegebenen vektoren b1, b2, b3, ausrechne.
Ein von mir gefundener Ansatz war es die normalisierten Vekotren spaltenweise nebeneinander zu schreiben??

Wie genau erhalte ich die Koordinaten meines Punktes X, im KS B mit Hilfe meiner homogenen Transformationsmatrix?
Mein Ansatz wäre; Xa * inverse(T) = Xb

Vielen Dank!

Answer 1

Hm,

schau mal hier nach

https://www.geogebra.org/m/akdx83hr

da findest Du zwei Beispiele einmal eine Drehung um einen Achsenvektor und die Aufteilung der Drehung auf die einzelnen Achsen.

Wie lautet der Originaltext der Aufgabe?

Comments

Hallo @wächter, 
Danke für den Link, der Link verweist auf eine PDF, die ich selber schon gelesen habe. LEider finde ich nirgendwo, ein Vorgehen wie ich meine Rotationsmatrix bestimmen kann, ohne die Drehwinkel meiner Achsen schon vorher zu kennen.

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Ich hoffe ich bekomme das noch richtig zusammen..

Der Rotationswinkel θ wird auf die z-Achse übernommen (b in die z-Achse drehen) und über die x-,y-Achse sind dafür folg. Rotationen anzulegen

R_x(\(cos⁻^1\left( \frac{b_z}{\sqrt{b_y^2+b_z^2}}\right)\) )

R_y(\(cos^{-1}\left(\sqrt{b_y^2+b_z^2}\right)\))

R_z(θ)

Die genaue Abwicklung siehe Link, 2. App das Beispiel mit den homogenen Koordinaten und das Skript Purgathofer, TU Wien (Seite 8,Link unten)

\(\small R_b(θ)=T_E(1) \cdot R_x^{T}\cdot  R_y^{T}\cdot  R_z \cdot R_y \cdot R_x \cdot T_E(-1)\\\)

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Sorry bin in dem Thema lange raus. Den Rotationswinkel kenne ich doch gar nicht. 

Also in dem Link, werden einem die drei Rotationsmatrizen um x, y, z gezeigt. Aber ich weiß ja gar nicht, welche Drehwinkel ich habe.

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Vielen Dank!
Im folgenden hat mir diese Quelle auch geholfen es zu verstehen: http://www-home.htwg-konstanz.de/~bittel/ain_robo/Vorlesung/02_PositionUndOrientierung.pdf