Extremwertaufgabe: Schachteln aus roter Pappe Schachteln mit quadratischer Grundfläche?

Question

Aufgabe:

In der Adventszeit möchten Sie aus roter Pappe Schachteln mit quadratischer Grundfläche und möglichst großem Rauminhalt basteln. Die Ihnen hierzu zur Verfügung stehenden Pappbögen sind quadratisch mit Seitenlänge 10cm. Wie groß muss die Seitenlänge x der vier gleich großen Quadrate gewählt werden, die Sie in allen vier Ecken des Pappbogens abschneiden, damit Ihre Schachteln nach Hochklappen der Ränder (unter Vernachlässigung von Klebestrei-fen) einen möglichst großen Rauminhalt besitzen?

Problem/Ansatz:

Der max. Rauminhalt ohne Abzug wären ja 1000 cm^3 oder liege ich da falsch? Ich weiß nicht wie ich vorgehen muss :(

Answer 1

Das Volumen der nach oben geöffnetenSchachtel ist V(x)=(1-2x)²·x. Die Nullstellen von V'(x) sind x=5 (Minimum) und x=5/3 (Maximum).

Comments

Die Einheit ist cm. → V(x)= (10-2x)^2*x

---

Dankeschön :)

Answer 2

Ein bißchen ausführlicher

Quadratseite 10 cm
Grundlänge des Schachtelbogens 10 cm minus 2 * x
Höhe Schachtel : x
V = ( 10 - 2 * x ) ^2  *  x
V = ( 100 - 40x + 4x^2 ) * x
V = 100x - 40x^2 + 4x^3
1.Ableitung
V ´( x ) = 100 - 80x + 12x^2
Stelle mit waagerechter Tangente
100 - 80x + 12x^2 = 0

x = 5/3 und
x = 5
Was Min und Max ist findest du sicher heraus.

Comments

Dankeschön !

---

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stell´
sie wieder ein.

Answer 3

Hallo Polly,
a und x  in cm , V in cm³

Die Schachtel hat die Länge und die Breite  a = 10 - 2x  und die Höhe  h = x

Das Volumen V(x) beträgt also
V(x)  =  (10 - 2x)² · x  =  4·x^3 - 40·x^2 + 100·x

mit den Ableitungen

V '(x)  =  12·x^2 - 80·x + 100

V "(x) =  24·x - 80

Jetzt kannst du mit Hilfe der Ableitungen wie üblich die Maximalstelle x von V ausrechnen:

12·x^2 - 80·x + 100 = 0     ⇔   x = 5/3   oder   x = 5

V "(5/3)  < 0  →    Maximalstelle  x_max = 5/3

----------------

→  V(5/3)  =  V_max =   2000/27 ≈  74,074  [ cm³ ]

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen lieben Dank !

---

Wünsche dir ein frohes Weihnachtsfest :-)