Abgeschlossenheit von Polarkegel beweisen

Question

Ich will beweisen, dass ein Polarkegel abgeschlossen ist.
Ein Kegel ist definiert als die Menge \(K\subseteq\mathbb{R}^n\), wobei \(\forall \lambda >0, \forall x\in K\) gilt \(\lambda \cdot x \in K\).
Ein Polarkegel \( K^\circ \) ist definiert als \(K^\circ := \{w \in \mathbb{R}^n| w^T\cdot d \leq 0, \forall d \in K\}\)
Nun soll bewiesen werden, dass \(K^\circ\) abgeschlossen ist.
In der Musterlösung ist gegeben:
Sei \(w_i, i \in \mathbb{N}\) eine Folge in \(K^\circ\) mit Grenzwert w, d.h. es gilt \(w_i^T\leq 0\) für alle \(i \in \mathbb{N}\) und auch  \(\lim_{i \to \infty } w_i^T\cdot d  = w^Td \leq 0\). Also ist \(K^\circ\) abgeschlossen.
Ich verstehe nicht wie man in diesem Satz bewiesen haben soll, dass für den Grenzwert w gilt, dass \(w^T\cdot d \leq 0\). Wieso kann nicht passieren, dass für alle \(i \in \mathbb{N}, w_i^Td\leq 0\), aber für den Grenzwert w gilt, \( w^T d>0 \) \(w^Td>0\)? Ich verstehe nicht, wie das in dem einsätzigen Satz garantiert wird.

Answer 1

Druckfehler in Zeile 6, richtig: w_i^T⋅d≤0

Eine Menge K* ist abgeschlossen, wenn jede konvergente Folge mit allen Folgengliedern in K* innerhalb von K* konvergiert. Merke: "abgeschlossen heißt: Alle Grenzwerte sind drin!!!"

Ist das in unserem Bsp so?

x sei ein Punkt. Wenn x^Td≤0, dann ist x ein Kegelpunkt, andernfalls nicht.

Wir betrachten alle Folgen, deren Folgenglieder in K* liegen und die konvergieren.

(wi)∈K*, d.h. es muss w_i^Td≤0

 ↓

 w       Den Grenzwert nennen wir w.

Also muss auch w^Td≤0. Wie könnte der Grenzwert plötzlich positiv sein, wenn alle Folgenglieder ≤0? Wenn er positiv wäre, gäbe es doch eine ε-Umgebung um ihn, in dem kein Folgenglied läge. Das darf nicht sein, in der ε-Umgebung müssen doch fast alle Folgenglieder liegen!

Comments

Vielen dank für die Antwort. Das mit der \( \epsilon\)-Umgebung war sehr hilfreich. Jedoch stellen wir uns vor, die Bedingung für Polarkegel wäre eine strikte Ungleichung:

$$w^T\cdot d <0$$

Wie würde ich jetzt beweisen, dass die Menge offen ist?

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Für den Körper K* gelte w^Td<0

Dann gilt für das Komplement komp(K*) w^Td≥0. Damit ist komp(K*) abgeschlossen.

Damit ist K* = komp(komp(k*)) offen.

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Dein Beweis für \(w^T\cdot d<0\) verstehe ich. Jedoch würde ich gerne sehen, wie wir den Beweis nicht anhand der Komplementmenge, sondern wieder anhand der Konvergenz der Folgen in \(K^\circ\) durchführen würden .

Wäre der folgende Beweis korrekt. Sei \(w_i\) eine Folge in \(K^\circ\) so dass gilt \(w_i \cdot d <0\) für alle Folgenglieder von \(w_i\) und sei der Grenzwert von \( \lim\limits_{i\to\infty} w_i \cdot d =0\). Da die Funktion \(w_i \to w_i \cdot d\) stetig ist, wären alle Folgenglieder in \(K^\circ\), aber der Grenzwert \(w\) nicht. Somit wäre \(K^\circ\) nicht abgeschlossen.

Ist das korrekt?

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leider falsch.

Alles von meinem Beweis oben abschreiben mit ≥ statt ≤!

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Wahrscheinlich 2 Missverständnisse:

Es gibt Mengen, die weder abgeschlossen noch offen sind.

Einen Folgenbeweis für offen Mengen kann es nicht geben.