Integral integral zusammengesetzter funktionen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie zu der Funktion

f(x){ 0 für x<0

     { sin(x) für 0<=x<=π

     { 0 für π<x

die Integralfunktion

F(X)=$\int\limits_{0}^{x}$ f(t)dt
Problem/Ansatz:

Lösung

x<0 ist f(x)=0, daher folgt

F(X)=$\int\limits_{0}^{x}$ 0dt=0

Für 0<=x<= π ist f(x) = sin(x), daher folgt,

F(X)=$\int\limits_{0}^{x}$ sin(t)dt=-cos(x)+1

für π<=x ist f(x)=0 , daher folgt

F(X)=$\int\limits_{0}^{x}$ f(t)dt=$\int\limits_{0}^{π}$ sin(t)dt+$\int\limits_{π}^{x}$ f(t)d=-cos(π)+1 +0=2

Meine Frage warum haben wir im letzten Schritt integral von f(t)+integral von sin(x) zuzammen addiert ich kann den letzten Schritt nicht verstehen?

Zusammenfassend erhalt man

F(x)= { 0 für x<0 ; 1-cos(x) für 0<=x<=π ; 2 für π<x}

Danke 

Answer 1

Aloha :)

Im letzten Schritt ist ja $x\ge \pi$. Daher kann man das Integral von $0$ bis $x$ aufspalten. Zuerst von $0$ bis $\pi$ und dann weiter von $\pi$ bis $x$:$$F(x)=\int\limits_0^x f(t)dt=\int\limits_0^\pi f(t)dt+\int\limits_\pi^x f(t)dt$$Durch die Aufspaltung kann man die Definitionsbereiche der Funktion effektiv nutzen. Für $0\le x\le\pi$ ist $f(x)=\sin(x)$ und für $x>\pi$ ist $f(x)=0$.

$$F(x)=\int\limits_0^\pi \sin(t)dt+\int\limits_\pi^x 0\,dt=-\cos\pi+\cos0+0=2$$

Comments

Danke für ihre Antwort aber können Sie mir bisschen Erklären warum wir für den letzten schritt sin(x) integriert haben ?

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Die Funktion ist definiert als $f(x)=\sin(x)$, falls $0\le x\le\pi$. Nach der Aufteilung des Integrals in zwei Integrale, passt der Bereich, in dem die Funktion so definiert ist, exakt mit den Integrationsgrenzen zusammen. Daher kann man für $f(t)$ dann $\sin(t)$ einsetzen.

Das gleiche passiert für den Bereich $x>\pi$, wo die Funktion als $f(x)=0$ definiert ist. Daher wird beim zweiten Teil-Integral über die $0$ integriert.

Answer 2

Druckfehler: überall, wo F(x) steht muss F₀(x) stehen, da es offensichtlich um eine bestimmte Integralfunktion mit unterem Wert x=0 geht.

Wenn x≥π heißt das: integriere von 0 bis x, also von 0 bis π und dann noch von π bis x.

Das Ergebnis für den ersten Schritt ist 2, für den zweiten 0, weil für x>π die Fkt=0 bleibt.

Comments

Danke für ihre Antwort aber können Sie mir bisschen Erklären warum wir für den letzten schritt sin(x) integriert haben ?

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weil die Funktion im Bereich von 0 bis π    sin(x) ist