Polynom vom Grad n = Nullpolynom?

Question

Hallo Community,

ich habe Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe:

Aufgabe:

Seien $\alpha_{0}, \ldots, \alpha_{n} \in K$ gegeben mit $\alpha_{i} \neq \alpha_{j}$ für alle $i \neq j .$ Zeigen Sie: Ist $p \in K[T]$ ein Polynom vom Grad höchstens $n$ mit $p\left(\alpha_{i}\right)=0$ für alle $0 \leq i \leq n,$ so ist $p=0$ (das Nullpolynom).

Problem/Ansatz:

Verstehe die Aufgabenstellung nicht kann es keinem Themengebiet zu ordnen. Es wär hilfreich wenn das ins Deutsche übersetzt wird und ein Ansatz gegeben wird den Rest müsste ich dann schaffen ^^

Answer 1

Ein Polynom n-ten Grades ungleich dem Nullpolynom hat höhstens $n$ Nullstellen. In Deinem Fall gibt es aber (n+1) unterschiedliche Nullstellen bei einem Polynom vom Grad höchstens $n$. Also muss das Polynom das Nullpolynom sein.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Das mit den Nullstellen habe ich leider nicht so gut verstanden beispielsweise Polynom Grad n=2 mit x² + x - 5 hat zwei Nullstellen also genau n Nullstellen oder verwechsel ich komplett die Themen gerade?

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Ein Polynom n-ten Grades hat im reellen höchstens $n$ Nullstellen. Im komplexen zerfällt das Polynom komplett in $n$ Nullstellen.

Z.B. $p(x) = x^2 + 1$ hat im reellen keine Nullstelle aber im komplexen die Nullstellen $\pm i$

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Ah jetzt leuchtets mir ein danke!

Answer 2

Wenn dir diese Aussage nicht sofort einleuchtet, kannst du es doch mal mit Induktion über k:=Grad(p)=0,...,n beweisen, wobei $n \in \mathbb{N}_{\geq 0}$ fest ist.

Im Grunde hast du n Elemente (paarweise verschieden) aus dem Körper K gegeben, welche die Nullstellen von einem Polynom mit Grad(p)≤n sein sollen.

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Vielen Dank für den Hinweis mit dem Induktionsverfahren und den Tipp ich versuchs mal damit :)

Answer 3

Vielleicht geht's auch so: Sei $p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ mit $a_i\in\mathbb K$.
Es soll $p(\alpha_0)=p(\alpha_1)=\ldots=p(\alpha_n)=0$ gelten, also in Matrixschreibweise:$$\begin{pmatrix}1&\alpha_0&\dots&\alpha_0^n\\1&\alpha_1&\dots&\alpha_1^n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&\alpha_n&\dots&\alpha_n^n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}.$$Bekanntlich ist die Vandermonde-Matrix nichtsingulär, falls die $\alpha_i$ paarweise verschieden sind. Deshalb gibt es nur die triviale Lösung $a_0=a_1=\ldots=a_n=0$, und $p$ muss das Nullpolynom sein.

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Vielen Dank für die Antwort! Gestern Abend als ich die vorherige Teilaufgabe gemacht hatte bin ich auf den Gedanken auch gestoßen, aber so richtig aufzuschreiben oder mich ausdrücken konnte ich es nicht. Vielen Dank ^^