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Sei n ∈ ℕ0, V = { f : ℝ→ℝ | Polynom vom Grad ≤ n }.  Sei B = { f0, f1, ..., fn } mit f0(x) = 1, f1(x) = x, ..., fn(x) = xn ∀ x ∈ ℝ

Zeige: B ist eine Basis von V?

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Sei f ∈ V, also gibt es a0 , a1, ..., an aus IR mit  f(x) = a0 + a1*x +  ...+ an *xn  für alle x aus IR.

Dann gilt auch für alle x aus IR     f(x) =  a0 *f0(x) + a1*f1(x) +  ...+ an *fn(x).

Also ist B ein Erzeugendensystem für V.

Außerdem sind die Elemente von B lin. unabh. denn wenn 

a0 *f0 + a1*f1 +  ...+ an *fn = 0-Polynom also

a0 *f0(x) + a1*f1(x) +  ...+ an *fn(x) = 0     für alle x aus IR gilt, dann

sind alle  ai = 0 .



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