LR Zerlegung mit Restmatrix und Pivotwahl

Question

Aufgabe:

LR Zerlegung mit Restmatrix und Pivotwahl

Gegeben sei die Zerlegung

\(\begin{aligned} P=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \end{array}\right) & Q=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} \end{array}\right) \\ L=\left(\begin{array}{rrr} {1} & {0} & {0} \\ {-1} & {1} & {0} \\ {2} & {-1} & {1} \end{array}\right) & R=\left(\begin{array}{rrr} {4} & {0} & {1} \\ {0} & {3} & {-3} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right) \end{aligned} \)
Führen Sie die folgenden Aufgabenstellungen ohne explizite Berechnung von A durch.
a) Ist die angegebene Zerlegung eine LR-Zerlegung mit Restmatrix-Pivotwahl der Matrix A ?Begründen Sie Ihre Antwort!
b) Berechnen Sie die Determinante von A .
c) Lösen Sie das Gleichungsstem $$A x=(1,2,3)^{\mathrm{T}}$$

Problem/Ansatz:

Hab versucht zu researchen und nur solche LR-Zerlegungen mit 1 Restmatrix gesehen, deswegen würde ich bereits bei a) sagen, dass es keine ist. Da 2 Restmatrizen bestehen?

Ist das legit?

Bei b) und c) fehlt mir jeglicher Ansatz was ist bei sowas die Vorgehensweise?

Comments

Zu a)

PAQ = LR ist eine LR Zerlegung mit voller Pivotisierung, da laut Definition PAQ = LR gelten muss, was hier der Fall ist.

Berechnung trotzdem nötig? Geht ohne A ja schlecht

Weiterhin bei b) keinen Ansatz.

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Was verstehst Du unter "Pivotwah"?

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Es gibt in der Rubrik "ähnliche Fragen" einige Fragen nach LR-Zerlegungen. Bsp. https://www.mathelounge.de/240713/lr-zerlegung-4x4-matrix aber auch solche, die das mit einer Excell-Tabelle erklärt haben, wenn ich mich recht erinnere.

Methode am besten so, wie Rapiz das braucht. Allerdings sollte Rapiz da auch ein vorgerechnetes Beispiel angeben können.

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Verstehe das mit der Pivotisierung nicht, habe das vorher nie gesehen. Und finde nichts Nützliches zur Vorgehensweise und was das ganze soll und wie man da vorgeht.

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In welchen Büchern hast Du denn gesucht?

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In meiner Hochschuldatenbank generall das Thema

Kannst du eins empfehlen? Oder n Link dazu?

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Mir ist unklar, was "in meiner Hochschuldatenbank generall das Thema" für Informationen enthält. Ebenso wenig weiß ich, was überhaupt in der betreffenden Lehrveranstaltung behandelt wird. Der Dozent kann Dir sicher ein Lehrbuch in linearer Algebra nennen, das für Euch geeignet ist. Das wird dann aber nicht aus "n Link" bestehen, sondern aus toten Bäumen.

Answer 1

PAQ = LR

==>  det(P)*det(A)*det(Q) = det(L)*det(R)

      1 * det(A) * (-1) = 1 * 36

==>   det(A) = -36

c)  PAQ = LR

==>   A  = P^(-1) * L * R * Q^(-1)

==>  A*x = P^(-1) * L * R * Q^(-1) *x = (1,2,3)^T

              ==>   x = P*L^(-1) * R^(-1) * Q * (1,2,3)^T

                         = P*L^(-1) * R^(-1) *  (3,2,1)^T

                         = P*L^(-1)  *  (2/3,1,1/3)^T

                         = P  *  (2/3,5/3,2/3)^T

                           =   (2/3,2/3,5/3)^T

Comments

Wie kommt man von P^-1·L·R·Q^-1·x = (1,2,3)^T auf x = P·L^-1·R^-1·Q·(1,2,3)^T ?

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links von x alles auflösen mithilfe von P^-1 * P = I

$$P^{-1}·L·R·Q^{-1}·x = (1,2,3)^{T}  | \text{*P von links} $$

$$L·R·Q{-1}·x = P *(1,2,3)^T | .....$$

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Dann kommt aber etwas anderes raus.

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Nein meine mit Q−1 Q^(-1) Formatierungsfehler, mach das ganze bis x

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Abgesehen davon, dass nach dem Lösungsvektor x falsch aufgelöst wurde, scheint diese Methode zur Lösung des LGS \(Ax=b\) eher ungeeignet. Sinnvoller wäre vielleicht folgendes Vorgehen.
\((0)\quad PAQ=LR\)
\((1)\quad u:=Pb\)
\((2)\quad\) Löse \(Lv=u\) für \(v\) durch Vorwärtseinsetzen
\((3)\quad\) Löse \(Rw=v\) für \(w\) durch Rückwärtseinsetzen
\((4)\quad x:=Qw\).
Dann gilt wie gewünscht
\(Ax=P^{-1}LRQ^{-1}x=P^{-1}LRw=P^{-1}Lv=P^{-1}u=b\).

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Ok, gerade gemerkt, dass da falsch aufgelöst wurde.

was ist hier das b?

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b ist der Ergebnisvektor, hier b=(1,2,3)^T.

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Und was ist v? Plus was meinst du mit Vorwärts und Rückwärtseinsetzen?

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v ist die Lösung des LGS Lv=u. Dieses LGS ist aufgrund der speziellen Gestalt von L (untere Dreiecksmatrix) leicht lösbar, eben durch Vorwärtseinsetzen. Im Gegensatz dazu wird das LGS Rw=v durch Rückwärtseinsetzen gelöst, denn R ist eine obere Dreiecksmatrix.