Die durchschnittliche Lebensdauer wird unterschritten, wenn der beobachtete Wert von \( \overline{X} \) zu niedrig ist, unter der Annahme einer Normalverteilung mit \( \mu = 240 \ h \) und einer Standardabweichug von \( \sigma = 30 \ h \).
\( \overline{X} \) ist zu klein wenn gilt $$ \mathbb{P} \left( \overline{X} < c \right) \le 0.01 $$ Da \( \overline{X} \) normalverteilt ist mit \( \mu = 240 \) und \( \sigma^* = \frac{ \sigma }{ \sqrt{n} } \) folgt
$$ \mathbb{P} \left( \overline{X} < c \right) = \Phi \left( \frac{ c - 240 }{ \sigma* } \right) \le 0.01 $$ Diese Gleichung muss nach \( c \) aufgelöst werden. Ist \( \overline{X} < c \) wird die Hypothese abgelehnt, ansonsten angenommen.
Für \( c \) bekommt man den Wert \( c = 213.13 \). Der beobachtete Wert ist \( 215 \) und somit kann die Hypothese \( \mu = 240 \) nicht abgelehnt werden.
