Existiert eine montone Funktion g : R → R mit g(g(x)) = −x für alle x ∈ R?

Question

Frage: Existiert eine montone/stetige Funktion g: ℝ→ℝ mit g(g(x))=-x für alle x ∈ ℝ?

Hilfestellung seien die Stichworte: Parität, Nullstellen, Zwischenwertsatz

Comments

Ich bin mir nicht 100% sicher, aber kann es sein dass es zu der Aufgabe einfach keine Funktion gibt die diese Eigenschaften erfüllt?

Weil ich habs jetzt schon ein paar mal versucht aber komme auf keine gescheite lösung

(kann natürlich auch sein dass ich was sehr offensichtliches übersehe)

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Sollte es nicht monoton und stetig sein?

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Sollte es nicht monoton und stetig sein?

Sollte es nicht monoton oder stetig sein?

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montone/stetige

monoton dividiert durch stetig ;) 

https://www.mathelounge.de/686986/gibt-es-eine-stetige-funktion-t-r-… ist nun eine Fragestellung mit weniger Interpretationsspielraum.

Answer 1

Hallo,

nehmen wir an, eine solche Funktion $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit $(g \circ g)(x)=-x$ existiere. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass $g(x)<x$. Wir definieren die Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit $f(x):=g(x)-x$. Die Funktion $f$ ist als Komposition zweier stetiger und monotoner Abbildungen ebenfalls wieder stetig und monoton. Es gilt

$(f \circ g) (x)=f(g(x))=g(g(x))-g(x)=-x-g(x)$.

Also $(f \circ g)(x)=\begin{cases} >0, & x<0 \\ <0, & x>0 \end{cases}$.

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein $\tilde{x} \in \mathbb{R}$ mit $f(\tilde{x})=0$. Das würde bedeuten, dass $g(\tilde{x}) =\tilde{x}$ gelten muss für ein bestimmtes $\tilde{x} \in \mathbb{R}$. Daraus folgt wiederum

$(g \circ g)(\tilde{x})=g(g(\tilde{x})) \stackrel{Zwischenwertsatz}{=}g(\tilde{x})\stackrel{Zwischenwertsatz}{=}\tilde{x}$.

Das ist jedoch ein Widerspruch zu unserer Annahmne, dass $(g \circ g)(x)=-x$ gelten soll. $\square$

Comments

Die Funktion $f$ ist als Komposition zweier stetiger und monotoner Abbildungen ebenfalls wieder stetig und monoton.

 Warum muss $f$ monoton sein?

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Komposition monotoner Funktionen ?

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ich möchte dadurch nur ausdrücken, dass die Monotonie bzw. Stetigkeit erhalten bleibt. Das sollte man zumindest mal erwähnt haben.

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Ist https://www.mathelounge.de/686986/gibt-es-eine-stetige-funktion-t-r-… eine Fortsetzung / Präzisierung oder sonst etwas?