Beweis von Span(U) /Basis

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Problem: wie berechne ich ein Span?

Und wenn der Raum R^3 bin und 4 Vektoren angegeben sind, dann MUSS ich für eine Basis :

1) lineare Unabhängigkeit

2) erzeugendesystem—>linearkombination beweisen

Idee:

1) sowie a machen

2) v= a*v+b*v2 usw.

Problem2)

Habe ich bei a) es so richtig gemacht? Hab ein ungutes Gefühl dabei

 

Comments

a) stimmt so nicht ganz. Die Gleichung \(-a\gamma=0\) ist auch für \(a=0\) erfüllt. In diesem Fall ist \(w_2=w_3\), womit lineare Abhängigkeit vorliegt.

---

Aso aber wenn ich für a=1 setzte , dann wäre nur -¥=0 und daraus folgt die lineare Unabhängigkeit ?

Könnte ich es einfach so annehmen ?

---

Oder die Vektoren wären linear unabhängig bei a > 0 ?

---

@EDIT: Deine Rechnung beginnt sehr abrupt. Die Aufgabe steht unter deiner Antwort. Oder? Warum hast du den "erkannten Text" gelöscht?

Was meinst du mit der Überschrift?

Span(U) / Basis

Wohl weder eine Division noch modulo.
Bitte schon die Einleitung der Frage so präzis wie möglich formulieren und passende Tags wählen.

Answer 1

Nimm die fraglichen Vektoren eines Erzeugendensystems und vereinfache sie ohne die Abhängigkeit oder Unabhängigkeit des Systems zu verändern. Erzeuge möglichst viele Nullen. Dann mach eine einfache Rechnung! Man darf in einem Erzeugendensystem den Vektor a durch eine Linearkomb. aus allen Vektoren des Erzeugendensystems ersetzen, falls der Koeffizient von a nicht 0 ist.

Ersetze w2 durch w2-2w1 und w3 durch w3-w1. Dann sieht es schon einfacher aus:

\( \begin{pmatrix} 1\\a\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 3\\1\\3 \end{pmatrix} \)

Jetzt ersetze den 3. durch den 3. minus den 2.:

\( \begin{pmatrix} 1\\a\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Jetzt ersetze den 2. durch den 2. minus den zweifachen 3..:

\( \begin{pmatrix} 1\\a\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Jetzt rechne nach, ob l.u.:(die 3 Vektoren nennen wir u,v,w)

x*u+y*v+z*w = 0, also y=0, xa=0, x+z=0

Wenn a=0, dann gibt es die nichtriviale Lösung x=1,y=0,z=-1, also l.a., also keine Basis von ℝ³, weil dim ℝ³=3 und nicht nur 2 wie die dim des Erzeugnisses von u,v,w.

Wenn a≠0, dann gibt es nur die triviale Lösung x=y=z=0, also l.u., also ist das Erzeugnis von u,v,w = ℝ³

b) Vereinfache solange, bis nur ganz einfache Vektoren da stehen, so dass man die dim des Erzeugnisses sofort sieht!

span{u1,u2,u3,u4}=span{u1-u3,u2,u3,u4-2u2}=span{\( \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\0\\4 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} -4\\0\\0 \end{pmatrix} \) } Teile!

=span{\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\0\\4 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) } Subtrahiere vom 2. und 3. den 4.

=span{\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 0\\0\\4 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) } Subtrahiere vom 3. und 1. teile den 2.

=span{\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) }

Jetzt siehst du die kanonische Basis, als Basis von span und ℝ³

So einfach ist das!

Comments

Hallo Helmus,

Danke erstmal für deine ausführliche Antwort .

Mit dem

weil dim ℝ3=3 und nicht nur 2 wie die dim des Erzeugnisses von u,v,w.

 Woher weiß man denn welche Dimension es gerade ist ? Liegt es an R^x=dim X ??
wenn es dem so ist, 

die Dim des Erzeugnisses von uvw liegt doch auch in R^3 ?

zum Verständniss:

Man darf in einem Erzeugendensystem den Vektor a durch eine Linearkomb. aus allen Vektoren des Erzeugendensystems ersetzen, falls der Koeffizient von a nicht 0 ist.

wieso ist es den Wichtig, dass a≠0 ist ? 
b) 
und wie kommst du denn darauf? Was ist den das Ziel eines Beweises vom Span ? 

span{u1,u2,u3,u4}=span{u1-u3,u2,u3,u4-2u2}=span

Du hast ja geschrieben, dass man die Dim sehen sollen ( aber ich weiß nicht so genau wie ich es raus kriege ) Hab Dim ja schon recherchiert aber ..


und 
was meinst du denn unter TEILEN? die einzelnen Vektoren Teilen ? 

Vielen Dank für deine Mühe
ich möchte es gerne Verstehen, weshalb ich so viele Fragen stelle :) 

---

Vllt nur nochmal hinzugefügt, wenn es etwas mit Matrizen gibt, dann hatten wir dieses Verfahren noch nicht angewendet :) vielleicht kommen mir die vielem Fragen aufgrund der Matrizen?

Lg

---

Rx=dim X ??

Du meinst: dim(ℝⁿ)=n. Ja, der ℝⁿ wird von genau n Basisvektoren aufgebaut. Am einfachsten ist die kanonische Basis: (1,0,0,0,....)

(0,1,0,0,0....), (0,0,1,0,0,0.......) usw.

wenn es dem so ist,
die Dim des Erzeugnisses von uvw liegt doch auch in R3 ?

die Formulierung geht so. das Erzeugnis von uvw liegt in ℝ³  oder

das Erzeugnis von u,v,w ist der ℝ³ oder dim(Erzeugnis von u,v,w) = dim(ℝ³) = 3

Man darf in einem Erzeugendensystem den Vektor a durch eine Linearkomb. aus allen Vektoren des Erzeugendensystems ersetzen, falls der Koeffizient von a nicht 0 ist. wieso ist es den Wichtig, dass a≠0 ist ? 

Stell die mal Basisvektor a und b vor. Dann stell dir vor 0*a+b und b. Schon ist es keine Basis mehr.

Du hast ja geschrieben, dass man die Dim sehen sollen ( aber ich weiß nicht so genau wie ich es raus kriege ) Hab Dim ja schon recherchiert aber ..

dim(vom Erzeugendensystem) = Anzahl der Basisvektoren in einem Erzeugendensystem

was meinst du denn unter TEILEN? die einzelnen Vektoren Teilen ?
(4,0,0) ist zu kompliziert. Teile durch 4: (1,0,0). Dadurch ändert sich nichts an der lin. Abhängigkeit oder Unabhängigkeit des betreffenden Vektors,

Geh mal alle Antworten durch. Wenn was unklar ist, frag weiter!