Ist mein Vorgehen richtig? (Basis bestimmen)

Question

Aufgabe:

Basis einer Linearen Abbildung berechnen, Abbildungsmatrix gegeben.

Ich multipliziere erstmal die Abbildungsmatrix A mit (x1, x2, x3)T , damit ich die eigentliche Abbildungsfunktion (heisst das so?) bekomme.

Hier mal  \( A_{\varepsilon_{2}}^{\varepsilon_{3}}(\Phi)=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-2} & {1} \\ {-4} & {2} & {-1}\end{array}\right) \).

Nun nehm ich mir die Standardbasis des R3 her: (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1).

Und rechne: Phi((1,0,0))  = (1, -4). Das selbe mach ich noch für die anderen beiden Standardbasis-Vektoren, sodass ich am Ende aufschreibe:

im(phi) = {a*(1,-4) + b*(-2,2) +c*(1,-1)} erhalte.

Problem/Ansatz:

Ist dieses Vorgehen richtig und führt immer zum richtigen Ergebnis?

Vielen Dank für jede Antwort!!

LG

Answer 1

Eine lineare Abbildung hat keine Basis.

Das haben nur Vektorräume.

Vermutlich meinst du

"eine Basis des Bildes "  also eine

Basis von Φ(R^3) ???

Dein Vorgehen ist soweit richtig, als dass die Spalten

der Matrix ein Erzeugendensystem für  Φ(R^3)  bilden.

Sie sind aber linear abhängig ( weil 3 Vektoren in

R^3 immer lin. abh. sind.) . Die ersten beiden sind aber

linear unabhängig. Sie bilden also eine Basis von  Φ(R^3) .

Comments

Ahh okayy ja vielen Dank!

---

Eine andere Aufgabe sieht sehr ähnlich aus:

"Gegeben sie die lineare Abbildung Phi R4 -> R4, deren darstellende Matrix (bezüglich der Standardbasis im R4)  von der folgenden Form ist:

Text erkannt:

\( A=\left(\begin{array}{cccc}{-2} & {4} & {2} & {6} \\ {4} & {-2} & {-2} & {-2} \\ {0} & {6} & {6} & {8} \\ {8} & {2} & {-6} & {8}\end{array}\right) \)

 - Bestimmen Sie eine Basis des Bildes der linearen Abbildung"

(in Kommentaren kann man leider keine Bilder in Textform umwandeln lassen)...

Das hätte ich genau so gelöst:

1. Die Matrix (ich denk mal darstellende Matrix und Abbildungsmatrix ist das gleiche) mit (x1,x2,x3,x4)T multiplizieren

2. Phi((1,0,0,0)) = ... ausrechenen, ebenso für die e2,e3,e4.

3. Gucken welche Vektoren davon linear Unabhängig sind -> Diese bilden die Basis.

4. So aufschreiben: im(phi)={a*ersterVektor + b*zweiterVektor +... | a,b,c aus R}