Welche komplexen Zahlen z erfüllen die folgenden Gleichungen?

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die Lösungen jeweils in der Gaußschen Zahlenebene dar.

a) \( \operatorname{lm}\left(\frac{z+j}{z+2}\right)=1 \)

b) \( \operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)+\operatorname{lm}\left(\frac{1}{z}\right)=1 \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das berechnen soll hat jemand eine Ahnung

Comments

Grober Plan: Forme die Gleichungen so um, dass du eine "einfache" Gleichung erhältst, in der Real- und Imaginarteil von z als Variablen vorkommen. Du wirst bestimmt mit dem Ansatz z = x + y *j weiterkommen und den Rechenregeln für komplexe Zahlen. Ich habe das mal für die erste Gleichung so gemacht und eine quadratische Gleichung mit x und y herausbekommen, die sich als Kreisgleichung "entpuppt" hat. Ohne Gewähr, prüf das bitte selbst.

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okay vielen dank

Answer 1

z = x + y *j   ==>  z + j =  x + (y+1)*j

und    z + 2=  x + 2  + y*j

also  ( z + j ) / (  z + 2 ) =  (  x + (y+1)*j ) / (    x + 2  + y*j )

erweitern mit   (    x + 2  -  y*j )    gibt

  ( z + j ) / (  z + 2 ) =  ( x^2 + 2x + y^2 + y + ( x + 2y + 2 ) * j  )   /  (x^2 + 4x + y^2 + 4 )

Also ist dessen Im-Teil

( x + 2y + 2 )   /  (x^2 + 4x + y^2 + 4 )  und das gleich 1 setzen

( x + 2y + 2 )   /  (x^2 + 4x + y^2 + 4 )  = 1

<=>   x + 2y + 2   =  x^2 + 4x + y^2 + 4

<=>   0  =  x^2  + 3x + y^2 -2y  + 2

quadratische Ergänzung

<=>   1,25  =  x^2  + 3x +2,25 + y^2 -2y  + 1

<=>   1,25  =  (x+1,5)^2 + (y -1 )^2

Also Kreis um ( -1,5 ; 1 ) mit r=√(2,25).

b) z = x + y *j  ==>

1/z =  ( (x-y*j) / ( x^2 + y^2 )

Also  Re(1/z) + Im(z) = 1

<=>  x / (  x^2 + y^2 )   +  (-y) / (  x^2 + y^2 )  = 1

<=>  x - y   =   x^2 + y^2

<=>  0  =   x^2 + y^2 - x + y

<=>  0,5   =   x^2 - x  + 0,25 + y^2+ y +0,25

<=>  0,5   =   (x- 0,5)^2   + (y+0,5 )^2

Kreis um ( 0,5 ; -0,5) mit r=√0,5.