Steigung entlang einer Bahnkurve

Question

Aufgabe:

Die Funktion eines Paraboloids ist gegeben durch z = 4x² + y².

Der Startpunkt $\begin{pmatrix} x_0\\y_0 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\0 \end{pmatrix}$ liegt auf einer Höhe von 1.

Der Weg ist durch folgende Projektion in die xy-Ebene gegeben:

$\vec{p}$(t) = $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(1-t)cos(2πt) \\ (1-t)sin(2πt) \end{pmatrix}$

Gesucht ist …

a) Steigungswinkel α(t) = arctan(m(t))

b) Bahngeschwindigkeit v(t) = |$\vec{r}$'(t)|, mit $\vec{r}$(t) = $\begin{pmatrix} x(t)\\y(t)\\z(t) \end{pmatrix}$

Problem/Ansatz:

a) z'(t) wurde bereits berechnet: 2t-2

Die Steigung soll durch grad f($\vec{p_0}$) * $\vec{a}$ berechnet werden können.

Kann bitte geholfen werden diesen Ansatz zu vervollständigen? Die Bildung des Richtungsvektors $\vec{a}$ führt zu Unklarheiten.

b) Ist der Gedanke korrekt die Elemente des Vektors wie angegeben nach t aufzustellen, einzeln abzuleiten und dann den Betrag des Vektors als Funktion der Bahngeschwindigkeit v(t) zu bilden? Mein bisheriges Ergebnis lautet:

$\vec{r}$'(t) = $\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}cos(2πt)-(1-t)πsin(2πt) \\ -sin(2πt)+(1-t)cos(2πt)2π \\ 2t-2 \end{pmatrix}$

Comments

Hallo

 sieht alles ok aus,  ich weiss aber nicht was m(t) sein soll und dein a in grad f *a

Gruß lul

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Hallo lul,

danke für deine Antwort. m(t) soll die Steigung sein, a der Richtungsvektor. Beide sind mir aus folgender Formel bekannt: m(t) = gradf(p0)*a.