a) Beschreiben Sie mit Worten (unter Verwendung z.B. von ”Drehung um...”, ”Streckung”, ”Spiegelung an...”, ”Verschiebung”, ”Projektion auf...”) die geometrische Bedeutung der Abbildungen
(1) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad f\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2 x} \\ {3 y}\end{array}\right) \)
(2) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad f\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y} \\ {x}\end{array}\right) \)
(3) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad f\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\cos (\alpha) x-\sin (\alpha) y} \\ {\sin (\alpha) x+\cos (\alpha) y}\end{array}\right) \)
(4) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad f\left(\begin{array}{c}{x} \\ {y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\sqrt{\frac{1}{2}} x-\sqrt{\frac{1}{2}} y} \\ {\sqrt{\frac{1}{2}} x+\sqrt{\frac{1}{2} y}}\end{array}\right) \)
\( (5) \quad f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad f\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x+2} \\ {y+3}\end{array}\right) \)
(6) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad f\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\frac{1}{2}(x+y)} \\ {\frac{1}{2}(x+y)}\end{array}\right) \)
(7) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad f\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\cos (\alpha) x-\sin (\alpha) y} \\ {\sin (\alpha) x+\cos (\alpha) y} \\ {z}\end{array}\right) \)
b) Was ist das Bild des Einheitskreises (im R3: der Einheitskugel) jeweils unter obigen Abbildungen?
c) Welche der Abbildungen sind linear, welche nicht?
d) Geben Sie Bild und Kern derjenigen obigen Abbildungen, die linear sind, an.
e) Welche der Abbildungen sind injektiv/surjektiv/bijektiv? Im Falle der Bijktivität geben Sie auch die Umkehrabbildung an!
