Zeige, dass f im Abschluss des Balls mit Radius 1/4 um die Null genau eine Nullstelle besitzt

Question

Hallo Leute,

an folgender Aufgabe knabbere ich jetzt schon länger.

Es ist f ∈ C¹ (B₁(0),R²) gegeben durch f(x, y) = \( \begin{pmatrix} 1/8 * sin |x|^{2} _{2} - e^{-y/4} + 129/128\\1/8*cos|x|^{2} _{2} - e^{-x/4} + 7/8 \\ \end{pmatrix} \)

Wie zeige ich nun, dass f im Abschluss von B_1/4(0) genau eine Nullstelle besitzt?

Liebe Grüße

Webmaster

Answer 1

\(f\in C^1(B_1(0),\mathbb{R}^2)\) besitzt genau eine Nullstelle in \(B_\delta (\bar{x})\), wenn

(1) \(L:=\text{d}f(\bar{x})\in \mathscr{L}(\mathbb{R}^2)\) invertierbar mit Inverser \(L^{-1}\in \mathscr{L}(\mathbb{R}^2)\)

(2) \(|f(\bar{x})|_2<\frac{\delta (1-q)}{||L^{-1}||}_{\text{op}}\) wobei \(q\in (0,1)\)

(3) \(||\text{d}f(x)-L||_{\text{op}}\leq \frac{q}{||L^{-1}||_\text{op}}\) für \(x\in \overline{B_\delta(\bar{x})}\)

Denn dann ist \(F: \overline{B_\delta(\bar{x})}\to \overline{B_\delta(\bar{x})}, \, x\mapsto x-L^{-1}f(x)\) eine wohldefinierte \(q\)-Kontraktion, welche genau einen Fixpunkt in \(B_\delta(\bar{x})\) hat. (vgl. Banachscher Fixpunktsatz)