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Ich habe folgende Lösung vor mir liegen und verstehe den 3. letzten Schritt nicht. Wie ist man in der Lösung darauf gekommen?

6) Integralrechnung

\( \int \limits_{0}^{\ln 2} \frac{e^{4 x}}{e^{2 x}+3} d x \)

\( z=e^{2 x}+3 \rightarrow \frac{d z}{d x}=2 e^{2 x} \rightarrow d x=\frac{d z}{2 e^{2 x}} \)

\( z_{u}=e^{2 \ln (0)}+3=4 \quad z_{o}=e^{2 \ln (2)}+3=7 \)

\( \int \limits_{4}^{7} \frac{e^{4 x}}{z} \frac{d z}{2 e^{2 x}}=\int \limits_{4}^{7} \frac{e^{2 x}}{2 z} d z \)

\( z=e^{2 x}+3 \rightarrow e^{2 x}=z-3 \)

\( =\int \limits_{4}^{7} \frac{z-3}{2 z} d z=\frac{1}{2} \int \limits_{4}^{7} 1 d z-\frac{3}{2} \int \limits_{4}^{7} \frac{1}{z} d z \)

\( =\frac{1}{2}[z]_{4}^{7}-\frac{3}{2}[\ln z]_{4}^{7} \)


\( =\frac{7}{2}-\frac{4}{2}-\left(\frac{3}{2} \ln 7-\frac{3}{2} \ln 4\right)=1,5-\frac{3}{2} \ln \frac{7}{4}=0,66 \)


 Vielen Dank für Antworten!!

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2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

Es gilt allgemein:

(A-B)/C =A/C -B/C

Das Integral wurde in 2 Teilintegrale aufgeteilt.

Die Konstanten wurden vor das Integral geschrieben.

Avatar von 121 k 🚀
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Hi,

es ist nicht möglich, dass Du über z integrieren willst, aber noch ein x mit dabei hast. Das muss ebenfalls ersetzt werden. Deshalb wird die eigentliche Substitution nochmals herangezogen, so dass man das verbleibende e^{2x} entsprechend ersetzen kann.

Damit klar?

Grüße

Avatar von 140 k 🚀

Vielen Dank für die Antwort, ich meine jedoch die 3.letzte Zeile und nicht die 4.letzte

Sry, ich dachte die viertletzte sei unklar.

Hier wurde nur der Bruch gesplittet. Es ist (a+b)/c = a/c + b/c

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