Reihe - Cauchy-Produkt - Binomialkoeffizienten

Question

Aufgabe:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ $\sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k\ \end{pmatrix}}$

Das soll dann $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^n}{n!}}$ sein.

Problem/Ansatz:

Servus!

Ich verstehe leider nicht, wie man von dem einen auf das andere kommt.

Hoffentlich kann mir hier jemand helfen!

Answer 1

Ist es so gemeint : $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\text{ , wobei } a_{n}=\frac{1}{n!}\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}$$ Dann hat das höchstens indirekt mit dem Cauchy-Produkt zu tun. Du musst dann nur zeigen, dass die Summe über die Binomialkoeffizienten genau 2ⁿ ergibt. Das ist eine wohlbekannte Tatsache, zu der du sicher viele Beweise finden wirst,  z.b kombinatorische Erklärungen (Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge) oder eine direkte Rechnung über (1+1)ⁿ mit dem binomischen Lehrsatz.

Answer 2

Aloha :)

Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes findest du:

$$\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot1^k=(1+1)^n=2^n$$

Mit der Reihendarstellung $e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ gilt dann weiter:

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k\ \end{pmatrix}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^n}{n!}}=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}\right)_{x=2}=e^2$$