Integral ohne Logarithmus beweisen

Question

Aufgabe:

Auf einem Planeten ohne den Logarithmus wurde folgende Gleichung aufgestellt:

Q(x)= \( \int\limits_{1}^{x} \)  \( \frac{1}{t} \) dt

Zeigen Sie, das folgende Gleichungen gelten:

(Natürlich ohne den Logarthmus)

a) Q(\( \frac{1}{x} \)) = - Q(x)

b) Q(xy) = Q(x) + Q(y)

c) Q(e^x ) = x

Problem/Ansatz:

Wenn man die Aufgabe im Kopf mit dem ln durch geht sieht man ziemlich schnell, dass alle Aufgaben lösbar sind

Für a und b konnte mir jemand Lösungen geben, wobei ich bei a nicht versteh, wie aus dem 1/x ein x wurde mittels substituieren

Ich weiß, dass folgendes gilt: \( \int\limits_{a}^{b} \) = - \( \int\limits_{b}^{a} \)

Für b hab ich folgenden link: https://math.stackexchange.com/questions/404864/integral-proof-of-logarithm-of-a-product-property

Aber bei c weiß ich echt nicht weiter...

Ich versteh Tatsache nicht einmal, was mir diese Aufgabe bringt, wenn man Ingenieuren (Ja ich weiß, dass ich (noch) keiner bin) sogar nachsagt, das sie pi teils auf 3 Runden...

Aber brauch sie halt, weshalb ich echt gerne verstehen würde, wie das funktioniert...

Denn bei c kann ich nicht wie bei a umformen und substituieren (also vermutlich schon, aber nicht genau so)

Mit freundlichen Grüßen Marc

Answer 1

Hallo

c) heisst Q'(e^x)=1  also leite  das Integral mit oberer Grenze e^x nach x ab, dann hast du 1/e^x*(e^x)'=1 fertig.

 zu a mit der Substitution u=1/t, du =-1/t^2dt=-1/t*udt , also du/u=-1/tdt  und die neuen Ganzen  t=1 u=1,  t=x u=1/x

 jetzt hast du $$-\int_1^{1/x} 1/udu=-Q(1/x) $$

jetzt kannst du  verstehen warum man Q(x) als ln(x) definieren kann, wenn man nur die Funktionalgleichung des ln kennt, und ohne ln zu kennen kann man jetzt auf dem Planeten mit Q(x) rechnen wie wir mit ln.

Gruß lul