Wie kann ich mit der PQ Formel die Nullstellen von Funktionsscharen berechnen?

Question

Aufgabe

1/2x +7/2-5/v^2 x^2

Berechne die Nullstelle der Funktionsschar

Problem/Ansatz:

Ich würde es mit der PQ Formel lösen, da ich x^2, x und eine Zahl habe, allerdings schaffe ich es nicht diese zu lösen.

Danke und LG

Answer 1

Dividiere erst mal durch (-5/v²) bzw. multipliziere mit (-v²/5).

Ich gehe davon aus, dass du \( -\frac{5}{v^2} x^2+\frac12x+\frac72=0\) meinst.

Comments

also hätte ich dann 1/2x /-5/v^2 + 7/2/-5/v^2 -x^2 ?

und wie muss ich das dann in die PQ Formel einsetzten? Ich habe Probleme mit Mehrfachbrüchen

LG

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Der Division durch (-5/v²) entspricht eine Multiplikation mit (-v²/5).

Mit dieser Multiplikation hast du keine Doppelbrüche.

... und -x² darfst du am Ende nicht haben, sondern +x².

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Danke, aber das hilft mir leider nicht da ich es nicht schaffe zu rechnen. Wie sieht denn der Term aus der bei -5/v^2 x^2+1/2x + 7/2 * (-v^2/5) entsteht?

LG

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Multipliziere (-5/v²) * x² mit (-v²/5).

Multipliziere (1/2) * x  mit (-v²/5).

Multipliziere 7/2 mit (-v²/5).

Zur Erinnerung (Klasse 6):

Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner,

außerdem:

Gleiche Faktoren in Zähler und Nenner kann man kürzen.

Answer 2

f ( x ) = -5 / v^2 * x^2 + 1/2 * x + 7/2

Nullstellen
-5 / v^2 * x^2 + 1/2 * x + 7/2 = 0
Die pq-Formel kannst du nur anwenden wenn der
Vorfaktor von x^2 eins ist.
Den Vorfaktor bekommst du weg indem du mit dem
Kehrwert multiplizierst.
Vorfaktor -5/v^2, Kehrwert - v^2/5 denn
-5/v^2 * -v^2/5 = ( -5 * -v^2 ) / ( v^2 * 5 ) = 1
also
-5 /v^2 * x^2 + 1/2 * x + 7/2 = 0  | * ( -v^2 / 5 )

-5 /v^2 * ( -v^2 / 5 ) * x^2 +
1/2 * ( -v^2 / 5 ) * x +
( -v^2 / 5 ) * 7/2 = 0

x^2  + ( - v^2 / 10 ) * x - ( - 7 / 10 * v^2 ) = 0
x^2  + ( - v^2 / 10 ) * x +  ( 7 / 10 * v^2 ) = 0

p = ( - v^2 / 10 )
q = 7 / 10 * v^2

Jetzt in die pq-Formel einsetzen.

Answer 3

1/2x +7/2-5/v^2 x^2=0

Schön geschrieben:

\(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{2}-\dfrac{5}{v^2}x^2=0\)

Sortieren:

\(-\dfrac{5}{v^2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{2}=0 ~~~~~~|\cdot{(-1)}\)

\(\dfrac{5}{v^2}x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{7}{2}=0 ~~~~~~|\cdot{v^2}\)

\({5}x^2-\dfrac{1}{2}v^2x-\dfrac{7}{2}v^2=0 ~~~~~~|\cdot\frac {1}{5}\)

\(x^2-\dfrac{1}{10}v^2x-\dfrac{7}{10}v^2=0 ~~~~~~\)

\(x_{12}=\dfrac{1}{20}v^2\pm\sqrt{\dfrac{v^4}{400}+\dfrac{7}{10}v^2}\)

Comments

Perfekt danke, auf dieses Ergebnis bin ich nach einiger Zeit auch gekommen. Aber das kann ich ja wegen der Variablen nicht mit dem Taschenrechner lösen. Was ist jetzt die Nullstelle(n) bzw. das Ergebnis der PQ-Formel?

Danke und LG

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Aber das kann ich ja wegen der Variablen nicht mit dem Taschenrechner lösen.

Ja, das Leben ist manchmal grausam.

Was ist jetzt die Nullstelle(n) bzw. das Ergebnis der PQ-Formel?

Die stehen doch da. Die Nullstellen sind

\(\dfrac{1}{20}v^2+\sqrt{\dfrac{v^4}{400}+\dfrac{7}{10}v^2}\)

und

\(\dfrac{1}{20}v^2-\sqrt{\dfrac{v^4}{400}+\dfrac{7}{10}v^2}\).

Mit Ausnahme von v=0 (wo die beiden Nullstellen identisch sind) gibt es für jedes v zwei verschiedene Nullstellen.

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Du kannst verschiedene Werte für v einsetzen und die Nullstellen dann ausrechnen.

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