Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit?

Question

Aufgabe:

Bricht ein Feuer aus, so wird es vom Brandmelder in 99% aller Fälle erkannt und der Feueralarm wird ausgelöst. Ein Feuer an einer Schule ist jedoch höchst unwahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag ein Feuer ausbricht, beträgt nur 0.01%. Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag der Feueralarm ertönt, liegt allerdings bei 0.5%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem ausgelösten Alarm um einen Fehlalarm handelt?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag ein Feuer ausbricht, beträgt 0,01%. Das heißt an 1 von 10.000 Tagen brennt es, an 9.999 Tagen brennt es nicht. An 0,5% aller Tage ertönt ein Alarm, das heißt an 50 von 10.000 Tagen ist Alarm, an 9950 Tagen ist kein Alarm. Der Brandmelder schlägt im Falle eines Brandes in 99% der Fälle an. Fassen wir das mal als Tabelle zusammen:

	Es brennt	Es brennt nicht
Alarm	\(0,99\)		\(50\)
kein Alarm			\(9\,950\)
	\(1\)	\(9\,999\)	\(10\,000\)

Alle übrigen Felder ergeben sich durch Addition bzw. Subtraktion:

	Es brennt	Es brennt nicht
Alarm	\(0,99\)	\(49,01\)	\(50\)
kein Alarm	\(0,01\)	\(9\,949,99\)	\(9\,950\)
	\(1\)	\(9\,999\)	\(10\,000\)

In den 50 Fällen, wo Alarm ist, brennt es in 49,01 Fällen nicht wirklich. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm beträgt daher:$$p=\frac{49,01}{50}=98,02\%$$

Comments

Vielen Dank! Ich verstehe deinen Lösungsweg gut. Jedoch verstehe ich nicht, dass man plötzlich von 10‘000 Tagen spricht. Kannst du mir das erklären?

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Die 10000 Tage habe ich frei gewählt, damit ich nicht so viele Komma-Zahlen habe. Bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit kommt es auf das Verhältnis an. Wenn ich Zähler und Nenner gleichzeitig um denselben Faktor vergrößere, ändert das am Ergebnis nichts. Ich hätte auch mit 100 anstatt mit 10000 rechnen können.