Für welche Werte von a, b ∈ R ist die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von a, b ∈ R ist die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv?

f: R → R, $$x ↦\frac{1}{ax}+b$$

Problem/Ansatz:

Wie kann ich dies rechnerisch  beweisen?

Comments

Steht x im Nenner?

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Ja x steht im Nenner

Answer 1

f(x)=$\frac{1}{ax}$ +b

klar ist: D=ℝ\{0}, a≠0

y=b ist waagr. Asymptote, da $\frac{1}{ax}$ → 0 für IxI→∞

b ist kein Funktionswert, f(x)=b geht nicht, da $\frac{1}{ax}$ ≠0

Also ist der Wertebereich (Menge der Funktionswerte) f(D)=W⊆ℝ\{b}

Sei y ∈ℝ\{b} beliebig und $\frac{1}{ax}$ +b =y ⇒ $\frac{1}{ax}$ = y-b ⇒ ax = $\frac{1}{y-b}$  ⇒ x = $\frac{1}{a(y-b)}$

Also gibt es zu jedem y ∈ℝ\{b} ein x∈D mit f(x)=y, also : W=ℝ\{b} und f(x) ist surj.

Angenommen es ex. x₁≠x₂∈D mit f(x₁)=f(x₂) ⇒ $\frac{1}{ax_{1}}$ +b = $\frac{1}{ax_{2}}$ +b ⇒ $\frac{1}{ax_{1}}$ = $\frac{1}{ax_{2}}$

⇒ ax₁ = ax₂ ⇒ x₁ = x₂ Widerspruch, also ist f(x) injektiv, also bijektiv.

Zusammenfassung: (i) f:D→W ist bijektiv.

                                (ii) f:D→ℝ ist nicht surj, aber injektiv.

                               Die Parameter spielen eigentlich keine Rolle: a≠0 muss sein, b∈ℝ ist

                               beliebig.