Eigenwerte einer Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich soll die Eigenwerte einer 3x3 Matrix bestimmen.

Nur verstehe ich nicht so ganz, wo ich hier den Fehler mache.. ich bitte um Hilfe :)

Answer 1

Dein schlimmster Fehler ist die falsche Benutzung des Gleichheitszeichens. Wenn ich das richtig nachvollziehe (was bei der unübersichtlichen Schreibweise fast nicht möglich ist), hast du die Sarrus-Regel benutzt, die drei Produkte einzeln ausgerechnet und zum Schluss erst die Summe gebildet. Und dazwischen steht fast immer "=", manchmal auch gar nichts, das ist falsch. Dann haben sich bestimmt einige Rechenfehler eingeschlichen, was bei der umständlichen Vorgehensweise kein Wunder ist. Erster Tipp: Wenn du ein Produkt mit zwei Summen ausmultipliziert hast: erst zusammenfassen, danach dann erst mit der dritten Summe multiplizieren. Zweiter Tipp: Die Idee, vor der Berechnung der Determinante eine elementare Zeilenumformung durchzuführen, scheinst du gehabt zu haben, hast sie aber offensichtlich verworfen. Hättest du das aber "durchgezogen" und die Determinante nach der letzten Zeile entwickelt, wäre es erheblich einfacher geworden. Man kann dann nämlich einen Linearfaktor direkt ausklammern und muss sich nur noch mit quadratischen Termen beschäftigen. Dritter Tipp: Für "technische" Aufgaben der Mathematik gibt es viele Hilfsmittel. Zum Beispiel könntest du das Polynom mit einem Online-Rechner bestimmen und dann vergleichen. Und in diesem Fall feststellen, dass deine Lösung nicht stimmt. Bitte starte einen neuen Versuch, diesmal mit der Zeilenumformung und dem Entwickeln nach der dritten Zeile. Wenn es da "hakt", bitte kommentieren.

Comments

Danke dir schonmal für deine ausführliche Antwort.

 Die elementare Zeilenumformung hatte ich schon, ja. Aber wir du sofort erkannt hast, habe ich genau damit starke Probleme, sowie mit dem Ausklammern des Linearfaktors, weshalb ich dann bei YouTube auf diesen Lösungsweg gestoßen bin. 

Ich kann schon sagen, dass man Beispielsweise die ||| - || Spalte rechnen Sollte. Aber weiter komm ich dann auch nicht.. :/

Ich bin wirklich über jede Hilfe dankbar :)

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Nach der Subtraktion III - II steht in der letzten Zeile 0, -2+λ, 2-λ. Das hattest du, soweit ich das erkennen kann, auch. Nun die Entwicklung der Determinante: - (-2+λ) * det (...) + (2-λ) * det (...), wobei du ... durch die 2x2-Unterdeterminanten ersetzt, die durch Streichen entstehen. Dann siehst du, dass -(-2+λ) = (2-λ), das kann man dann ausklammern. Versuch es bitte mal, so weit selbst aufzuschreiben. Dann siehst du vermutlich selbst, wie man weitermachen kann.

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So könnte die Lösung aussehen ( mit x statt λ)

χ_A ( x ) = | ... |  (ersetze ... durch A - x E)

           = | ... | (schreibe Zeilen I und II ab, ersetze III durch III - II)  

   $$= 0 - (-2 + x) *det \begin{pmatrix} 5-x & 45 \\ -2 & -20 \end{pmatrix}+(2-x)*det\begin{pmatrix} 5-x & -21 \\ -2 & 11-x \end{pmatrix}$$

      = (2-x) * [ -100 + 20x + 90 + x² - 16x + 55 - 42]

     = (2-x) * (x² + 4x + 3)

     = (2-x) * (x+1) * (x+3)

Jetzt sind die Nullstellen und damit die Eigenwerte ablesbar. Bei jedem Schritt sind kleinere Nebenrechnungen durchgeführt worden, versuch sie nachzuvollziehen bzw. schreibe es bei Bedarf etwas ausführlicher auf.

Answer 2

Ich glaube, dass du beim Auflösen der

drei Klammern im 2. Schritt einmal

-18λ² vergessen hast.