Links ist der Zähler \(0\) für alle ungerade \(k\). Für gerade \(k\) ist der Zähler \(2\).
Ersetzt man links gerade \(k\) durch \(2n\), dann bekommt man
\(\begin{aligned}&\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1+(-1)^k}{k!}\\ =& \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{(2n)!} \\=& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(2n)!}\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n)!} \\=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}\end{aligned}\)
