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Ich soll zeigen, dass für alle n ∈ N gilt.

Aber ich hab Probleme mit der Induktion, bzw. ich weiss nicht genau wie die Fakultät

das beeinflusst.

Da wir dass noch nicht in der Uni besprochen haben.

von

3 Antworten

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Für n=1 stimmt es ja.

Wenn du nun die Summe bis n+1 bildest, ist das die Summe bis n plus

den (n+1)-ten Summand, also 

( 3n/n!  - 1)   plus  (n+1)-ter Summand

=( 3n / n! - 1 )  +  (3-(n+1))*3n /(n+1)!

= 3n / n!   +  (2-n)*3n /(n+1)!   -  1   1. Bruch erweitern

= 3n(n+1) / (n+1)!   +  (2-n)*3n /(n+1)!   -  1   auf einen Bruchstrich

= 3n * ( n+1+2-n) / (n+1)!  - 1 

= 3n * 3 / (n+1)! - 1   also das gewünschte Ergebnis.

von 152 k

warum wird nich 3n+1 genommen kannst du mir das bitte erklären ?

Was genau ist dir nicht klar?

3^{n} * 3 / (n+1)! - 1

=  3^{n+1} / (n+1)! - 1

+1 Punkt
Hi, ich bezeichne den Term in der Summe mal mit T, da ich gerade am Handy.Beginne mit dem Induktionsschluss wie folgt:$$\sum_{k=1}^{n+1}T=\sum_{k=1}^{n}T+ \frac{(3-(n+1)) \cdot 3^n}{(n+1)!}=\frac{(3^n-n!) \cdot (n+1) + (3-(n+1)) \cdot 3^n}{(n+1)!}$$Nun den Zähler vereinfachen.
von 2,9 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
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Tipp:

(3-k)*3^{k-1}/k!

=3^{k}/k! -3^{k-1}/(k-1)!

Das sieht stark nach einer Teleskopsumme aus!

von 29 k

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