Lineare Abbildung und darstellende Matrix

Question

Gegeben sei die lineare Abbildung
$$\mathcal{L}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad v=\left(\begin{array}{c} {v_{1}} \\ {v_{2}} \\ {v_{3}} \end{array}\right) \mapsto \mathcal{L}(v)=\left(\begin{array}{c} {v_{2}-2 v_{3}} \\ {2 v_{1}-v_{2}+4 v_{3}} \\ {v_{1}-v_{2}+3 v_{3}} \end{array}\right)$$
(a) Geben Sie die darstellende Matrix $M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(\mathcal{L})$ von $\mathcal{L}$ bezüglich der kanonischen $\mathcal{E}$ Basis des $\mathbb{R}^{3}$ an.
(b) $\mathcal{B}=\left(b_{1}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right)\right)$ ist ebenfalls eine Basis des $\mathbb{R}^{3} .$ Bestimmen Sie die Basis-
wechselmatrizen von der Basis $\mathcal{B}$ zur Basis $\mathcal{E}$ und umgekehrt.
(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix $M_{B}^{B}(\mathcal{L})$ von $\mathcal{L}$ bezüglich der Basis $\mathcal{B}$.
(d) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes sowie eine Basis des Kerns von \mathcal.

>Doppelung gelöscht<

Answer 1

Das Standard-Programm erstmal ohne viel Worte - ggf. Rückfragen:

Grundlagen: https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/zNtvcrTu

$\small \epsilon M\epsilon \, := \, \left(\begin{array}{rrr}0&1&-2\\2&-1&4\\1&-1&3\\\end{array}\right)$

$\small \epsilon M\epsilon \; \left(\begin{array}{r}v_1\\v_2\\v_3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}v_2 - 2 \; v_3\\2 \; v_1 - v_2 + 4 \; v_3\\v_1 - v_2 + 3 \; v_3\\\end{array}\right)$

Bei mir heißt die Basis $\kappa$: Basiswechselmatrizen

$\small \epsilon T\kappa \, := \, \left(\begin{array}{rrr}1&-2&-1\\1&0&2\\0&1&1\\\end{array}\right)$

$\small \kappa T\epsilon \, := \, \epsilon T\kappa^{-1} = \, \left(\begin{array}{rrr}2&-1&4\\1&-1&3\\-1&1&-2\\\end{array}\right)$

$\small \kappa M\kappa \, := \, \kappa T\epsilon \; \epsilon M\epsilon \; \epsilon T\kappa$

d) ist unvollständig..