Hallo Janos,
Mein Ansatz war es erstmal die x= ... Gleichung nach t umzustellen und dann t in die x Gleichung einzusetzen ...
gut - dann erhältst Du: $$x=\frac{2}{1+t^{2}} \implies t= \sqrt{\frac{2}{x}-1}\\ y= \frac{t}{1+t^{2}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{x}-1}}{1+\frac{2}{x}-1} = \frac x2 \sqrt{\frac{2}{x}-1}$$Dann kann man sich die Funktion im Plotlux Plotter schon mal ansehen:
~plot~ x*sqrt(2/x-1)/2;-x*sqrt(2/x-1)/2;[[-1.5|3|-1.5|2]] ~plot~
Allerdings habe ich dann keine Ahnung wie ich diese Gleichung auf die Hauptform der Ellipse bringen soll.
Forme das zunächst so um, dass die Wurzel verschwindet - heißt hier: einfach die Gleichung quadrieren$$\begin{aligned} y^2 &= \left( \frac x2 \right)^2 \left( \frac{2}{x}-1\right) \\ &= \frac x2 - \frac{x^2}4 \end{aligned}$$alles auf eine Seite bringen und mit dem Hauptnenner multiplizieren, dann stehen nur noch ganze Zahlen da$$ x^2 - 2x + 4y^2= 0$$Im letzten Schritt macht man mittels quadratischer Ergänzung die gemischten Terme wie \(x^2-2x\) zu einem Term wie \((x-x_0)^2 + r\). Beim \(y^2\) braucht man nichts tun.$$\begin{aligned} x^2 - 2x \colorbox{#ffff00}{+ 1} + 4y^2 &= \colorbox{#ffff00}{1} \\ (x-1)^2 +4y^2 &= 1 \\ \frac{(x-1)^2}{1^2} + \frac{(y-0)^2}{\left( \frac 12\right)^2} &= 1\end{aligned}$$Abschließend sorgt man dafür, dass rechts eine \(1\) steht - das ist bereits der Fall - und dann noch die Koeffizienten vor den Quadraten in die jeweiligen Nenner bringen - und fertig!
Das ist also eine Ellipse mit dem Mittelpunkt bei \((x_0=1;\, y_0=0)\) und den Hauptachsen \(a=1\) und \(b=1/2\), wie Du oben am Plot prüfen kannst.
