Ist meine Vorgehensweise richtig/ Parameterdarstellung Ellipse

Question

Aufgabe:

Wandeln Sie die Parameterdarstellung der Ellipse in eine implizite Darstellungsform und dann in die Hauptform um und zeichnen Sie den Graphen.
$$x=\frac{2}{1+t^{2}} \quad y=\frac{t}{1+t^{2}} \quad \text { Hauptform: } \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1$$

…

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war es erstmal die x= ... Gleichung nach t umzustellen und dann t in die x Gleichung einzusetzen. Allerdings habe ich dann keine Ahnung wie ich diese Gleichung auf die Hauptform der Ellipse bringen soll. Und wofür steht das x0 bzw. y0 in der Ellipsengleichung?

Über einen Lösungsweg würde ich mich sehr freuen.

Danke :)

Answer 1

Hallo Janos,

Mein Ansatz war es erstmal die x= ... Gleichung nach t umzustellen und dann t in die x Gleichung einzusetzen ...

gut - dann erhältst Du: $$x=\frac{2}{1+t^{2}} \implies t= \sqrt{\frac{2}{x}-1}\\ y= \frac{t}{1+t^{2}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{x}-1}}{1+\frac{2}{x}-1} = \frac x2 \sqrt{\frac{2}{x}-1}$$Dann kann man sich die Funktion im Plotlux Plotter schon mal ansehen:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x·√(2/x-1)/2f₂(x) = -x·√(2/x-1)/2Zoom: x(-1,5…3) y(-1,5…2)

Allerdings habe ich dann keine Ahnung wie ich diese Gleichung auf die Hauptform der Ellipse bringen soll.

Forme das zunächst so um, dass die Wurzel verschwindet - heißt hier: einfach die Gleichung quadrieren$$\begin{aligned} y^2 &= \left( \frac x2 \right)^2 \left( \frac{2}{x}-1\right) \\ &= \frac x2 - \frac{x^2}4 \end{aligned}$$alles auf eine Seite bringen und mit dem Hauptnenner multiplizieren, dann stehen nur noch ganze Zahlen da$$x^2 - 2x + 4y^2= 0$$Im letzten Schritt macht man mittels quadratischer Ergänzung die gemischten Terme wie $x^2-2x$ zu einem Term wie $(x-x_0)^2 + r$. Beim $y^2$ braucht man nichts tun.$$\begin{aligned} x^2 - 2x \colorbox{#ffff00}{+ 1} + 4y^2 &= \colorbox{#ffff00}{1} \\ (x-1)^2 +4y^2 &= 1 \\ \frac{(x-1)^2}{1^2} + \frac{(y-0)^2}{\left( \frac 12\right)^2} &= 1\end{aligned}$$Abschließend sorgt man dafür, dass rechts eine $1$ steht - das ist bereits der Fall - und dann noch die Koeffizienten vor den Quadraten in die jeweiligen Nenner bringen - und fertig!

Das ist also eine Ellipse mit dem Mittelpunkt bei $(x_0=1;\, y_0=0)$ und den Hauptachsen $a=1$ und $b=1/2$, wie Du oben am Plot prüfen kannst.

Answer 2

Ich weiß zwar nicht genau, wie du das umformen musst, kann dir aber folgende Hinweise geben:

x_0 und y_0 sind die Koordinaten des Mittelpunktes der Ellipse, a und b die beiden Halbachsen.

Ich habe die Parameterdarstellung bei Wolframalpha eingegeben.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2dplot++x%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B1…

Für die Hauptform kommt a=1, b=0.5, x_0=1 und y_0=0 heraus.