Eulersche Zahl und Rechnung von Steiner - Erklärung

Question

Aufgabe:

Hier ist eine Rechnung von Steiner über die Charakterisierung der eulerschen Zahl. Iich verstehe überhaupt leider nicht, wie er auf diese Rechnung gekommen ist.

Charakterisierung der Eulerschen Zahl nach Steiner

Im vierzigsten Band von Crelles Journal aus dem Jahre 1850 gibt der Schweizer Mathematiker Jakob Steiner eine Charakterisierung der Eulerschen Zahl e, wonach e als Lösung einer Extremwertaufgabe verstanden werden kann. Steiner zeigte nämlich, dass die Zahl e charakterisierbar ist als diejenige eindeutig bestimmte positive reelle Zahl, die beim Wurzelziehen mit sich selbst die größte Wurzel liefert. Wörtlich schreibt Steiner: „Wird jede Zahl durch sich selbst radicirt, so gewährt die Zahl e die allergrößte Wurzel.“

Steiner behandelt hier die Frage, ob für die Funktion:
$$ f:(0, \infty) \rightarrow(0, \infty), x \mapsto f(x)=\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}} $$
das globale Maximum existiert und wie es zu bestimmen ist. Seine Aussage ist, dass es existiert und dass es angenommen wird in und nur in \( x_{max} = e \)

In seinem Buch Triumph der Mathematik gibt Heinrich Dörrie eine elementare Lösung dieser Extremwertaufgabe. Sein Ansatz geht von der folgenden wahren Aussage über die reelle Exponentialfunktion aus:
$$ \forall y \in \mathbb{R} \backslash\{0\}: e^{y}>1+y $$

Nach der Substitution \( y = \frac{x-e}{e} \) folgt für alle reellen Zahlen \( x\neq e \).
\( e^{\frac{x-e}{e}}>1+\frac{x-e}{e} \)

mittels einfacher Umformungen weiter
\( e^{\frac{x}{e}}>x \)

und schließlich für alle positiven \( x\neq e \) durch Radizieren
\( \sqrt[e]{e} = \sqrt[x]{x} \)

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

Ich möchte das sehr gerne verstehen. Kann ein kluger Mensch mir diese komplette Reechnung erläutern, wie man darauf kommt.

Answer 1

Hallo

 die Behauptung verstehst du noch?

 dann e^x>1+x sagt nur dass die e. Funktion oberhalb ihrer Tangente bei x=0 liegt (oder größer als der Anfang der Talorreihe für e^x

dann wir in die Ungleichung statt x  (x-e)/e eingesetzt

dann hat man e^(x-e)/e>1+(x-e)/e, jetzt die Klammern aufgelöst :

e^x/e-1 > 1+x/e -1=x/e   |*e

e^x/e > x jetzt auf beiden Seiten die ixte Wurzel gezogen, bzw. hoch 1/x genommen ergibt

e^1/e > x^1/x und das war ja die  Behauptung von Steiner

jetzt müsstest du genau sagen, welchen Schritt du nicht verstehst?

Gruß lul

Comments

Dieses ungleich

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hey, ich verstehe den ersten Schritt nicht??

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Hallo

kennst du die Taylorreihe von e^x. oder welche Definition von e^x ist dir bekannt?

1+x ist der Anfang der TR, danach kommen nur noch positive Glieder. Wenn du das : e^x liegt oberhalb der Tangente y=x+1 nicht verstehst, siehst du das vielleicht?

lul