Summenformel "ausrechnen" / umformen

Question

Hi Mathelounge,

könnt ihr mir vielleicht hierbei helfen: in einem alten Mathe-Skript hab ich folgende Umformung gefunden:

$$\sum_{i=1}^k a^{k-(2i-1)} = \frac{a^{1+k} - a^{1-k}}{a^2 - 1}$$

Ich versteh leider überhaupt nicht, wie man auf diese Umformung kommt...

Wäre über jeden Tipp sehr dankbar :)

Comments

Schreib dir ein paar Reihenglieder auf.

Es um eine geometrische Summe.

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{i=1}^ka^{k-(2i-1)}=\sum\limits_{i=1}^ka^{k+1-2i}=a^{k+1}\sum\limits_{i=1}^ka^{-2i}=a^{k+1}\sum\limits_{i=1}^k\left(\frac{1}{a^2}\right)^i$$Die Summe ist eine geometrische Reihe mit \(q=\frac{1}{a^2}\), für die wir die Summenformel einsetzen können:$$\sum\limits_{i=1}^kq^k=\sum\limits_{i=0}^kq^k-1=\frac{q^{k+1}-1}{q-1}-1=\frac{q^{k+1}-1}{q-1}-\frac{q-1}{q-1}=\frac{q^{k+1}-q}{q-1}$$Damit machen wir oben weiter:$$\sum\limits_{i=1}^ka^{k-(2i-1)}=a^{k+1}\cdot\frac{\left(\frac{1}{a^2}\right)^{k+1}-\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{a^2}-1}=a^{k+1}\cdot\frac{\left(\frac{1}{a^2}\right)^{k}-1}{1-a^2}=\frac{\frac{a^{k+1}}{a^{2k}}-a^{k+1}}{1-a^2}$$$$\phantom{\sum\limits_{i=1}^ka^{k-(2i-1)}}=\frac{\frac{1}{a^{k-1}}-a^{k+1}}{1-a^2}=\frac{a^{1-k}-a^{k+1}}{1-a^2}=\frac{a^{k+1}-a^{1-k}}{a^2-1}$$