Summenterm umformen: ∑ k = 2 bis n (2^{2 - k}) . Geometrische Reihe.

Question

∑ _{k = 2 bis n} (2^{2 - k})

Wie forme ich das um? Kann mir jemand helfen.

Danke

Answer 1

Ich würde das wie folgt umformen:

∑ _{k = 2 bis n} (2^{2 - k})
∑ _{k = 2 bis n} (2^2 / 2^k))
∑ _{k = 2 bis n} (4 / 2^k))
4 * ∑ _{k = 2 bis n} (1 / 2^k))
4 * (1/2 - 2^{-n})
2 - 2^{2 - n}

Vergleiche auch https://www.mathelounge.de/23068/summen-formen-sie-die-ausdrucke-um-2i-2-2-2-2-i-lb-2i-i-1 Dort ist allerdings keine Herleitung.

Comments

4 * (1/2 - 2^{-n}) wie geht man hier vor dass dann 2 - 2^{2 - n} raus kommt?

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Ausmultiplizieren

4 * (1/2 - 2^{-n})
4 * 1/2 - 4 * 2^{-n}
2 - 2^2 * 2^{-n}
2 - 2^{2-n}

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∑ k = 2 bis n (1 / 2k))    -- ?? -->    (1/2 - 2-n)

Was passiert hier? Wo geht das k hin?

Wo finde ich erklärungen von diesem spaß im netz? wenn überhaupt... immernhin google ich seit ner stunde und mehr als diese seite hier, die lediglich(immerhin, gott sei dank) halbwegs nachvollziehbare lösungen zu aufgabe 1 und 3 liefert finde ich nichts

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∑ k = 2 bis n (1 / 2^k))    -- ?? -->    (1/2 - 2^{-n})

Das ist eine geometrische Reihe. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Formel s_n = a_o (q^{n+1} - 1) / (q - 1)

a_o = erster Summand

q = 1/2

Und jetzt noch die Summanden zählen.

und dann die Formel anwenden. Alles einsetzen und vereinfachen.

Gleiches Beispiel mit anderem Ansatz auch hier: https://www.mathelounge.de/23068/summen-formen-sie-die-ausdrucke-um-∑-2i-2-2-∑2-2-i-∑lb-2i-i-1

Answer 2

Die geometrische Reihe nochmals ausführlicher. Vgl. auch meinen Kommentar und den Link unten.

∑ _{k = 2 bis n} (2^{2 - k}) = 1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 +..... + 1/2^{2-n} 

a_o = 1

q = 1/2

n-2 Summanden

Formel s_n = a_o (q^N+1 - 1) / (q - 1)

Formel s_n = 1 (q^n-2+1 - 1) / (q - 1)

= ((1/2)^{n-1} - 1) / (1/2  – 1)

= ((1/2)^{n-1} - 1) / (-1/2)

= -2 ((1/2)^{n-1} - 1)

= 2(1 - 1/2^{n-1})

=2 - 2/(2^n / 2)

= 2 - 4*2^{-n} = 2 - 2^{2-n}