Term mit Summenformel vereinfachen

Question

Hallo,

kann mir einer erklären, wie man folgende Summenformel vereinfacht:

$$ \frac{1}{2}(\sum \limits_{i=1}^{\ n}n^2-2n\sum \limits_{i=1}^{\ n}i+\sum \limits_{i=1}^{\ n}n+\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2-\sum \limits_{i=1}^{\ n}i) \\ \frac{1}{2}(n^3-n^3-n^2+n^2+\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n-\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n) $$

Ich verstehe nicht, warum \( n^{3} \) , warum \( n^{2} \) , oder woher kommen die ganzen Brüche her.

Danke im Voraus

Comments

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!75:Wichtige_Summenformeln

Answer 1

• \(\sum \limits_{i=1}^{\ n}i = \frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}\)
• \(\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2= \frac{n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)}{6}\)
  
• \(\sum \limits_{i=1}^{\ n}n = n\cdot n\)
• \(\sum \limits_{i=1}^{\ n}n^2 = n\cdot n^2\)
  

Comments

Vielen Dank, jetzt verstehe ich es.

Darf ich noch fragen, wie man von \( \frac{n⋅(n+1)}{2} \)  auf \( \frac{n⋅(n+1)⋅(2n+1)}{6} \) kommt ?

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Man kommt nicht von \( \frac{n⋅(n+1)}{2} \)  auf \( \frac{n⋅(n+1)⋅(2n+1)}{6} \). Man beweist \(\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2= \frac{n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)}{6}\), zum Beispiel mit vollständiger Induktion.

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\( \sum\limits_{i=1}^{n}{n} \)=n·n

\( \sum\limits_{i=1}^{n}{n^2} \)=n·n²

Ist das richtig?

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Warum sollte das nicht richtig sein?

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Du hast 5 Summanden. Jeder Summand hat den Wert 3. In der zweiten Klasse hast du gelernt, wie man das kürzer schreiben kann als 3+3+3+3+3, nämlich 5·3.

\(\sum \limits_{i=1}^{\ n}n = n\cdot n\)

Du hast \(n\) Summanden. Jeder Summand hat den Wert \(n\).

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Tipp: nicht gleich alles ausmultiplizieren, sondern vorher ausklammern$$\phantom{=}\frac{1}{2}\left(\sum \limits_{i=1}^{\ n}n^2-2n\sum \limits_{i=1}^{\ n}i+\sum \limits_{i=1}^{\ n}n+\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2-\sum \limits_{i=1}^{\ n}i\right)\\ = \frac{1}{2}\left(n^3-(2n+1)\sum \limits_{i=1}^{\ n}i+n^2+\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2\right) \\ = \frac{1}{2}\left(n^3-(2n+1)\cdot \frac{n}{2}(n+1)+n^2+\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)\right) \\ = \frac{1}{2}\left(n^3+n^2+n(n+1)(2n+1)\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)\right) \\ = \frac{n}{2}\left(n(n+1)-\frac{1}{3}(n+1)(2n+1)\right) \\ = \frac{n}{6}(n+1)\left(3n-(2n+1)\right) \\ = \frac{n}{6}(n+1)\left(n-1\right) \\ = \frac{n}{6}\left(n^2-1\right)$$

Answer 2

$$=1/2\sum_{i=1}^n(n^2-2ni+n+i^2-i)$$ der \(i\)-te Summand ist

\((n-i)^2+(n-i)\). Läuft nun \(i\) von \(1\) bis \(n\), so durchläuft

\(n-i\) die Zahlen von \(0\) bis \(n-1\) in umgekehrter

Reihenfolge, d.h. der Gesamtausdruck ist$$=1/2(\sum_{i=1}^{n-1}i^2+\sum_{i=1}^{n-1}i)=1/6(n-1)n(n+1)$$