Sei \( \mathbb{R}[X]_{\leq 2}=\left\{a_{0}+a_{1} X+a_{2} X^{2} | a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\} \) der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum der Polynome vom
Grad \( \leq 2, \) und sei die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}[X]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) definiert durch
$$ \varphi(f):=\left(\begin{array}{l} {f(0)} \\ {f(1)} \\ {f(2)} \end{array}\right) $$
1 Zeigen Sie, dass \( \varphi \) bijektiv ist.
2 Berechnen Sie die Abbildungsmatrix \( D_{B, E}\left(\varphi^{-1}\right) \) der inversen Abbildung.
3 Geben Sie für allgemeine \( b_{0}, b_{1}, b_{2} \in \mathbb{R} \) ein Polynom \( f(X) \in \mathbb{R}[X]_{\leq 2} \) an, so dass gilt:
$$ f(0)=b_{0}, \quad f(1)=b_{1}, \quad f(2)=b_{2} $$
