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Aufgabe (Fortsetzen von Vektorraumhomomorphismen).

Es seien \( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} \in \mathbb{R}^{4} \) und \( y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4} \), \( y_{5} \in \mathbb{R}^{3} \)

gegeben durch

\( \begin{array}{l} x_{1}:=(1,1,0,0), x_{2}:=(3,4,0,-1), x_{3}:=(0,0,2,1), x_{4}:=(0,1,2,0), x_{5}:=(-2,1,1,1), \\ y_{1}:=(0,1,0), y_{2}:=(1,1,-1), y_{3}:=(2,2,3), y_{4}:=(1,-1,-1), y_{5}:=(1,6,4) . \end{array} \)

Entscheiden Sie in den folgenden Fällen jeweils, ob es einen \( \mathbb{R} \) -Vektorraumhomomorphismus \( \varphi \) mit den geforderten Eigenschaften gibt.

(a) Existiert ein Homomorphismus \( \varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( \varphi\left(x_{1}\right)=y_{1}, \varphi\left(x_{2}\right)=y_{2}, \varphi\left(x_{3}\right)=y_{3}, \varphi\left(x_{4}\right)=y_{4} \)?

(b) Existiert ein Homomorphismus \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) mit \( \varphi\left(y_{1}\right)=x_{1}, \varphi\left(y_{2}\right)=x_{2}, \varphi\left(y_{3}\right)=x_{3} \)?

(c) Existiert ein Homomorphismus \( \varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( \varphi\left(x_{1}\right)=y_{1}, \varphi\left(x_{2}\right)=y_{4}, \varphi\left(x_{3}\right)=y_{5}, \varphi\left(x_{4}\right)=y_{3} \)?

Bestimmen Sie in den Fällen, in welchen \( \varphi \) existiert und eindeutig bestimmt ist, Basen von Im \( \varphi \) und Ker \( \varphi \).

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