Aloha :)$$E:\;\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\end{array}\right)+s\,\left(\begin{array}{c}4\\1\\1\end{array}\right)+t\,\left(\begin{array}{c}2\\-1\\2\end{array}\right)$$Punkte dieser Ebene liegen genau dann in der \(xy\)-Ebene, wenn ihre \(z\)-Koordinate gleich \(0\) wird:$$0\stackrel{!}{=}z=2+s+2t\quad\Leftrightarrow\quad s=-2-2t$$Dieses \(s\) setzen wir in die Ebenengleichung ein:
$$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\end{array}\right)+(-2-2t)\,\left(\begin{array}{c}4\\1\\1\end{array}\right)+t\,\left(\begin{array}{c}2\\-1\\2\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}4\\1\\1\end{array}\right)-2t\,\left(\begin{array}{c}4\\1\\1\end{array}\right)+t\,\left(\begin{array}{c}2\\-1\\2\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}3-8\\1-2\\2-2\end{array}\right)+t\,\left(\begin{array}{c}-8+2\\-2-1\\-2+2\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}-5\\-1\\0\end{array}\right)+t\,\left(\begin{array}{c}-6\\-3\\0\end{array}\right)$$Die Punkte der Ebene, die in der \(xy\)-Ebene liegen, befinden sich auf einer Geraden:$$g_{xy}:\;\binom{x}{y}=\binom{-5}{-1}+v\,\binom{2}{1}$$Den Richtungsvetor habe ich etwas einfacher geschrieben, indem ich den Faktor \((-3)\) vorgezogen habe und dann \(v=-3t\) gesetzt habe.
