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allerseits!

Ich sitze gerade an meinen Hausaufgaben, und komme partout nicht weiter! Könnte mir da einer helfen?

Aufgabe: Bestimmen Sie r so, dass das LGS entweder keine, unendlich viele oder genau eine Lösung hat!

a) I x+r*y=7

    II 3*x+3*y=4


b) I 2*x-y+r*z=2-2*r

    II 2*y+z=r

    III x+6*y+4*z=2+2*r

Vielleicht stehe ich nur auf dem Schlauch, aber wie kann man denn allein anhand der Gestalt des LGS erkennen, wie viele Lösungen dieses hat und wie bestimme ich r? Gibt es da eine Regel?

Für a) habe ich schon mal y=17 / (3r-3) heraus und weiß, dass r=1 sein muss, damit das LGS keine Lösung hat - das ist einleuchtend. Aber wie muss ich weitermachen und kann mir jemand bei der b) helfen?

Vielen Dank im Voraus!

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Keine Lösung gibt es, wenn die falsche Aussage 1=0 herauskommt.

Bei 0=0 gibt es unendlich viele Lösungen.

Sonst gibt es genau eine Lösung.

a)

    I x+r*y=7

    II 3*x+3*y=4

3*I-II) 3ry-3y=17

          3y(r-1)=17    Jetzt nicht dividieren!

Wenn r=1 ist, ist die Aussage falsch. Für jeden anderen Wert kann y berechnet werden.

Bei a) ist r=1 richtig für keine Lösung, da 3*(x+1*y)=3x+3y ist und die Geraden dann parallel verlaufen. Für jeden anderen Wert von r gibt es genau eine Lösung (Schnittpunkt der Geraden). Unendlich viele Lösungen kann es hier nicht geben, da dann eine Gleichung ein Vielfaches der anderen sein muss.

b) I 2*x-y+r*z=2-2*r

    II 2*y+z=r

    III x+6*y+4*z=2+2*r

----------------------------------

x eliminieren:

2*III-I:   13y+8z-rz=2+6r

             13y + (8-r)z=2+6r   (IV)

                2y + z       =r          (IV)

--------------------------------

y eliminieren:

2*IV-13*II: (16-2r-13)z=4-r  → \(z=\dfrac{4-r}{3-2r}\) für \(z\neq 1,5\)

(IV) → \(2y+\dfrac{4-r}{3-2r}=r \Rightarrow 2y = \dfrac{(3-2r)r}{3-2r}-\dfrac{4-r}{3-2r}\)

\(y=\dfrac{-2 + 2 r - r^2}{3 - 2 r}\)

...

\(x=\dfrac{2 -6 r+2 r^2}{3 - 2 r}\)


Alle Nenner werden 0 für r=1,5.

Für \(r\neq1,5\) gibt es also genau eine Lösung.

Nun müssen wir noch gucken, ob die Zähler für r=1,5 Null sind oder nicht.

Da alle Zähler in diesem Fall nicht Null sind gibt es für r=1,5 keine Lösung.

Der Fall "unendlich viele Lösungen" kommt nicht vor.

Avatar von 47 k

aber wie macht man das, wenn man r bestimmen soll?

Kennst du denn Determinanten?

vielen vielen dank für die ausführliche erklärung - jetzt hab ich es endlich verstanden!

Schön, dann hat sich der Aufwand ja gelohnt. :-)

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Hallo

 man löst einfach die gleichungen soweit es geht in Abhängigkeit von t

also a) 1. Gleichung *3 davon die zweite abziehen

ergibt y(3r-1)=17 wenn 3r-1=0 keine Lösung, sonst kann man y ausrechnen und daraus dann x.

bei b eben etwas mehr rechnen, aber mit r einfach umgehen, wie mit einer Zahl.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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