Bestimmen komplexer Grenzwerte

Question

Aufgabe:

Ich soll von folgende Aufgaben Grenzwerte berechnen.

a) lim n -> unendlich = i^n/n

b) lim n -> unendlich = (i-n)^4/(3-i)^n

Problem/Ansatz:

In der ersten Aufgabe würde ich das i herausziehen wollen, nur leider geht das da glaube ich nicht so einfach, um den Grenzwert zu berechen, weil wir ja nur den Imaginärteil 1/n * i^n gegeben haben. Ich weiß nur nicht wie ich das n hier rausziehe.

Bei der zweiten würde ich den limes für den Zähler und Nenner einzeln betrachten, nur habe ich keine Idee, was ich danach machen soll.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

a) n hinr. groß: I \( \frac{i^{n}}{n} \) I = I 1/n I = 1/n < ε ⇒ \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{i^{n}}{n} \) = 0

b)  n hinr. groß: I \( \frac{(i-n)^{4}}{(3-i)^{n}} \) I ≤ \( \frac{(n+1)^{4}}{2^{n}} \) < ε ⇒ \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{(i-n)^{4}}{(3-i)^{n}} \)= 0

Comments

Kannst du mir das erklären?

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i liegt auf dem Einheitskreis in der Gauß-Ebene, alle Potenzen von i auch, also   I iⁿ I=1

Ist a) klar?

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b) i - n ist länger als n aber kürzer als n+1, kann also durch n+1 nach oben abgeschätzt werden. 3-i ist länger als 2, kann also durch 2 nach unten abgeschätzt werden.

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i und n und -n sind Vektoren.

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Reicht das als Erklärung?

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Hallo Helmus,

danke für deine Antwort, die a) ist mir klar, nur noch nicht die b), woher weiß ich denn, dass i - n länger als n ist und kürzer als n+1? Und warum 3-i länger als 2, wie kommst du hier auf die 2 ?

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Betrachte den Vektor i - n.

Betrachte die Länge von i-n nach Pythagoras.

Vergleiche mit n+1.

Betrachte 3 - i.

3 - i hat die Länge √(9-1) = √8 >2.

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Kannst auch so sagen (Dreiecksungleichung): Die Summe von zwei Dreiecksseiten ist immer größer als die 3. Seite.