Darstellungsmatrix eines Vektorproduktes bestimmen 2x2

Question

Aufgabe:

Sei V der reelle Vektorraum der 2x2-Matrizen, A∈V.

Sei f : V → V mit f(X) = A·X für alle X ∈ V.

A=\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)

Gebe die Darstellungsmatrix von f bzgl. einer Basis von V deiner Wahl an.

Problem/Ansatz:

Um die Basis zu berechnen, würde ich für X die 2x2 Einheitsmatrix als Basis nehmen, dann kommt aber gerade A als Darstellungsmatrix raus, oder habe ich was falsch verstanden?

Comments

Ja, das hast du scheinbar immer noch nicht verstanden. Das ist eine Matrizenabbildung. Wie das geht, hast du bereits einmal gefragt.

https://www.mathelounge.de/692510/wie-sieht-die-darstellungsmatrix-bei-matrizen-als-zielmenge

Schau da erstmal nochmal nach.

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Sorry danke für den Hinweis.

Answer 1

Aloha :)

Ich schlage vor, die Standardbasis \(S\) der 2x2-Matrizen zu verwenden:$$S=\left(\,\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\,\right)$$Dafür ermitteln wir nun die Darstellngsmatrix:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\2 & 0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 2\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 & 2\\0 & 1\end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$Damit lautet die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis \(S\):$$M(f)_S=\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 1\end{array}\right)$$