Term aufstellen, Bäume im Quadrat

Question

Aufgabe: Wald mit Bäumen in einem quadratischen Muster. Es gibt ein Quadrat mit n-Bäumen. Stelle den Term auf, der die Bäume außenherum beschreibt.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir dazu eine Skizze gemacht für n=1, n=2 und n=3.

Meine einen Bäume (im Quadrat) sind punkte (●) also für n=1 ●=1, für n=2 ●=4, für n=3 ●=9. Das bedeutet dass es der Termteil n^2 ist.

Für die Bäume außenherum (○) habe ich für n=1 ○=8, für n=2 ○=12, für n=3 ○=16. Das bedeutet immer +4.

Doch wie lautet jetzt der Term? Ist das richtig: n^2+8n

Für n=1 stimmt das, ich habe insgesamt 9 Bäume. Aber wenn ich dafür n=2 einsetze ist das Ergebnis 20 und meine Zeichnung hat aber nur insgesamt 16 Bäume.

?????? Gibt es auch mehrere Lösungen dazu??

Frage 2: Mir wurde der Term 4×(n-1)^2 gegeben und der ist falsch. Jetzt soll ich begründen warum. Kann mir jemand damit weiterhelfen?

FG

Answer 1

n	1	4	9	16	25
a	1	4	8	12	16
k	1	2	3	4	5

k: Seitenlänge des Quadrats (Kante)

a: außen stehende Bäume

n: Anzahl der Bäume

a=(k-1)·4 für k>1; a=1 für k=1

k=√n

Also: a=((√n)-1)·4 für n>1; a=1 für n=1

Und nun noch ein Bild zum besseren Verständnis.

Ich habe nur die "Außenbäume" eingezeichnet.

Zu deinen Fragen:

Zuerst schreibst du, dass es n Bäume sind, die ein quadratisches Muster bilden. Dann muss n eine Quadratzahl sein. Dann untersuchst du n=1; 2; ...  Das wäre dann aber die Seitenlänge des Quadrats.

Dann hast du für n=1 plötzlich 9 Bäume angegeben. Das heißt, du setzt um den einen Baum 8 herum. Das bedeutet, dass du die Bedeutung von n wieder änderst.

Comments

Hmm ich verstehe nicht, warum bei k=1 genau dann gibt es einen Baum im Quadrat aber warum nur 1 außenherum?

Also wenn ich mir das zeichne, ein Quadrat mit Kantenlänge 1, ein Baum da rein dann sind bei mir 8 Bäume als Quadrat außenherum...

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Wenn nur ein Baum dasteht, ist es doch der einzige und der steht auch noch außen.

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Ok. Der term ist also 4×((√n)-1) das klappt ja auch bei allem.

Wenn ich aber für n=1 eingebe kommt bei mir dann für a 0 raus. Und in deiner Tabelle steht bei k,n=1 für a die 1.

Warum?

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Darum habe ich auch den Fall n=1 ausgenommen.

a=((√n)-1)·4 für n>1

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Aahh okay. Vielen Dank