Gerade g an Tangente bestimmen

Question

Aufgabe:

Die Parabel par: y² = 4x und die gerade

g: x + 2y = a sind gegeben. a ist eine reelle Zahl. Bestimme den Wert des Parameters a so, dass die gerade g eine Tangente an die Parabel im Punkt P = (4 | yp ) ist.

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich den Wert von a?

Answer 1

g: x + 2y = a → y=-0,5x+0,5a

Der Graph von g ist eine fallende Gerade mit der Steigung -0,5. Wenn a geändert wird, bewirkt das eine Parallelverschiebung der Geraden.

p: y^2=4x

Der Graph von p ist eine nach rechts geöffnete Parabel, zu der zwei Funktionsterme gehören.

$$ p_1: y=+2\sqrt x~~~~~;~~~~~ p_2: y=-2\sqrt x$$

g soll eine Tangente sein. Das ist nur für \(p_2\) möglich, da g fällt.

$$p_2(x=4)=-2\cdot 4=-4$$

$$g(x=4)=-0,5\cdot 4+0,5a=-4 \Rightarrow a=-4$$

Jetzt ist noch zu prüfen, ob g wirklich Tangente ist oder ob sie die Parabel schneidet.

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Mir fällt gerade ein weiterer Lösungsweg ein.

y=-0,5x+0,5a in p einsetzen und a so bestimmen, dass es nur eine Lösung für x und y gibt.