Aufgabe e-Funktionen Skipiste

Question

Aufgabe:

Der Querschnitt einer Skipiste kann durch den Graphen der Funktion f mit \( f(x)=(x+200) \cdot e^{-0,005 x}+750 \)
für \( 0 \leq x \leq 1000 \) (x und \( f(x) \) in Metern) näherungsweise beschrieben werden.
a) Geben Sie die Höhendifferenz zwischen Beginn und Ende der Skipiste an.
b) Bestimmen Sie das Gefälle der Skipiste, wenn man zwischen Anfangs- und Endpunkt konstante Steigung 900
annimmt.
c) Bestimmen Sie die Stelle mit der extremsten Steigung.
d) Zum Präparieren der Skipiste mit einer Steigung über \( 30^{\circ} \) muss die Pistenraupe mite einer Seiliwinde gesichert werden. Prüfen Sie, ob dies erforderlich ist [17]

Problem/Ansatz:

… Meine Ableitung zu f(x) wäre e^-{0,005*x} wenn ich jedoch die Nullstellen mit dem log rausfinden will, ist ln(0)?!

Bin dankbar über Hilfe, komme nämlich absolut nicht weiter (;

Answer 1

a)  f(0)-f(1000) = 950-758=192  m    Höhendifferenz.

b)  wenn man zwischen Anfangs- und Endpunkt konstante Steigung 900
annimmt    Die 900 ist wohl ein Tippfehler ???

Dann ist das Gefälle   192/1000 =0,192=19,2%

c) extremes Gefälle am Wendepunkt, also bei f ' ' (x) = 0

Für die Ableitungen brauchst du die PRODUKTREGEL !

Gibt dann:

f ' ' (x) = ( 0,000025x - 0,005) * e^(-0,005x)

Das ist 0 für x=200.

Also ist in 200m waagerechter Entfernung vom Startpunkt die

steilste Stelle.

d) An der steilsten Stelle haben wir das Gefälle f ' (200) =-0,368

also 36,8% Gefälle. Die Seilwinde muss benutzt werden.

Sieht so aus:

~plot~ (x+200)*e^(-x/200)+750;[[0|1000|0|1000]] ~plot~

Comments

Vielen Dank! Da war ja schon mein erster Ansatz falsch, aber jetzt verstehe ich es viel besser! (:

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Und die 900 war ein Tippfehler, sorry!

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Ich denke bei der Aufgabe d) muss die Seilwinde nicht benutzt werden, weil man die Seilwinde erst bei 30 Grad braucht und nicht bei 30 %. Ein Gefälle von 36 % entsprechen einem Gefälle von 20 Grad deshalb braucht man noch keine Seilwinde.