Komplexe Zahlen mehrfache Multiplikation

Question 1

Aufgabe:

$ \left(\cos \left(20^{\circ}\right)+\sin \left(20^{\circ}\right) i\right)\left(\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\right) 2 e^{i 45^{\circ}} $

Angabe als komplexe Zahl.

Problem/Ansatz:

dies gibt ja 2e^i20° * e^i45° * e^i300°

Wenn ich jetzt 2e^i365° bekomme, muss ich da 5° nehmen? -> 2(cos(5°) + sin(5°)i)

z = 2(cos(5) + 2(sin(5))

$ \left(\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\right) $ ergibt ja -60°, jedoch ist es im 4. Quadrant. -> +360° -> 300°.

Ist das richtig überlegt?

Question 2

Aloha :)

Die Aufgabe kannst du vollständig mit $e$-Funktionen schreiben:$$\cos(20^o)+i\sin(20^o)=e^{i\,20^o}$$$$\frac{1-\sqrt3\,i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\,i=\cos60^o-i\,\sin60^o=e^{-i\,60^o}$$Damit ist das Ergebnis:$$e^{i\,20^o}\cdot e^{-i\,60^o}\cdot2\cdot e^{i\,45^o}=2\,e^{i\,5^o}$$Zu deiner anderen Frage. Beim Argument der komplexen e-Funktion kannst du beliebig oft $2\pi$ bzw. $360^o$ addieren oder subtrahieren:$$e^{i(\varphi+n\cdot 2\pi)}=e^{i\varphi}\quad;\quad e^{i(\varphi+n\cdot 360^o)}=e^{i\varphi}\quad;\quad n\in\mathbb{Z}$$Daher ist $e^{i\,365^o}=e^{i\,5^o}$.

Question 3

ok, das habe ich verstanden: e^i365 -> 1 * e^i5

Soviel ich weiss, muss man ja den Korrekturwinkel hinzufügen bei bestimmten Quadranten. Wieso kann man hier einfach mit -60° weiterrechnen?... Am Schluss komme ich jedoc hschon auf die richtige Lösung, aber das macht noch nicht so Klick.

Question 4

Den "Korrekturwinkel" brauchst du nur, wenn du das Argument der $e$-Funktion mit Hilfe der $\arctan$-Funktion ausrechnest:$$\varphi=\arctan\left(\frac{\text{Imaginärteil}}{\text{Realteil}}\right)$$Falls der Realteil $<0$ ist, musst du $180^o$ bzw. $\pi$ als Korrekturwinkel addieren.

In deiner Aufgabe konnte man die komplexe Zahl direkt mit Sinus und Cosinus schreiben, daher war kein Korrekturwinkel nötig.

Tschakabumba · Answer 1 · 2020-03-21T13:01:44+0000

Aloha :)

Die Aufgabe kannst du vollständig mit $e$-Funktionen schreiben:$$\cos(20^o)+i\sin(20^o)=e^{i\,20^o}$$$$\frac{1-\sqrt3\,i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\,i=\cos60^o-i\,\sin60^o=e^{-i\,60^o}$$Damit ist das Ergebnis:$$e^{i\,20^o}\cdot e^{-i\,60^o}\cdot2\cdot e^{i\,45^o}=2\,e^{i\,5^o}$$Zu deiner anderen Frage. Beim Argument der komplexen e-Funktion kannst du beliebig oft $2\pi$ bzw. $360^o$ addieren oder subtrahieren:$$e^{i(\varphi+n\cdot 2\pi)}=e^{i\varphi}\quad;\quad e^{i(\varphi+n\cdot 360^o)}=e^{i\varphi}\quad;\quad n\in\mathbb{Z}$$Daher ist $e^{i\,365^o}=e^{i\,5^o}$.

ok, das habe ich verstanden: e^i365 -> 1 * e^i5

Soviel ich weiss, muss man ja den Korrekturwinkel hinzufügen bei bestimmten Quadranten. Wieso kann man hier einfach mit -60° weiterrechnen?... Am Schluss komme ich jedoc hschon auf die richtige Lösung, aber das macht noch nicht so Klick. — PhysikNiete, 21 Mär 2020
Den "Korrekturwinkel" brauchst du nur, wenn du das Argument der $e$-Funktion mit Hilfe der $\arctan$-Funktion ausrechnest:$$\varphi=\arctan\left(\frac{\text{Imaginärteil}}{\text{Realteil}}\right)$$Falls der Realteil $<0$ ist, musst du $180^o$ bzw. $\pi$ als Korrekturwinkel addieren.
In deiner Aufgabe konnte man die komplexe Zahl direkt mit Sinus und Cosinus schreiben, daher war kein Korrekturwinkel nötig. — Tschakabumba, 21 Mär 2020

Komplexe Zahlen mehrfache Multiplikation

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