Funktionsterm zur Flächenberechnung bestimmen (Integral)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche. Bestimmen Sie dazu einen Funktionsterm für f und nutzen Sie aus, dass man den Graphen von g durch Spiegelung des Graphen von f an der Geraden zu $y=x$ erhält.

Problem/Ansatz:

Wie genau komme ich denn auf die beiden Funktionsterme?

Answer 1

Aloha :)

Für $f$ kann man einige Punkte sehr gut ablesen: $(0|0)\,,\,\left(\frac{1}{2}|\frac{1}{4}\right)\,,\,(1|1)$. Ein passender Funktionsterm wäre daher:$$f(x)=x^2$$Die Funktion $g$ geht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Geraden $y=x$ hervor. Das entspricht einer Vertauschung von $x$- und $y$-Koordinate. Aus $y=x^2$ wird also $x=y^2$ bzw. $y=\sqrt x$. Die zweite Funktion lautet daher:$$g(x)=\sqrt x$$Beide Funktionen schneiden sich bei $(0|0)$ und $(1|1)$. Die Fläche dazwischen ist daher:$$F=\int\limits_0^1\sqrt x\,dx-\int\limits_0^1x^2\,dx=\int\limits_0^1\left(x^{1/2}-x^2\right)dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

Comments

Vielen Dank für diese sehr gute Erklärung!!!

Answer 2

Die Funktion f scheint eine Parabel zu sein, bei der gilt f(1) = 1.

Wie man auf g kommt, steht bereits in der Aufgabenstellung.

Comments

Und genau eben wie ich auf g komme ist mir unklar

---

Was hast Du für ein f?

---

wie ich auf g komme ist mir unklar

Dann komme eben nicht drauf, wird dann sowieso viel einfacher.

---

Dann komme eben nicht drauf, wird dann sowieso viel einfacher.

Sehr hübsch, genau. Weil man dann mit f und der Symmetrieachse y=x arbeiten kann, und dann die Fläche verdoppelt.

Answer 3

Hallo,

ich würde sagen, f(x) ist die Normalparabel. g(x) erhältst du, indem du die Umkehrfunktion von f(x) bildest.

Gruß, Slvia