Ebenengleichung in die Parameterform umwandeln

Question

Ich habe die Ebenengleichung E:-x1+3x2-4x3=12

Danach berechne ich x2=x3==

-x1=12

Also der Punkt P(-12/0/0) Wie kommt mein Lehrer auf den zweiten Punkt P2(0/0/-3)?

Answer 1

Aloha :)

Die Ebenengleichung lautet:$$-x_1+3x_2-4x_3=12$$Diese stellst du nach einer Koordinate um. Am einfachsten ist hier die Umstellung nach $x_1$, da wir dann ohne Brüche weiterrechnen können:$$x_1=3x_2-4x_3-12$$Diese Gleichung besagt, dass $x_2$ und $x_3$ völlig beliebig sein können, aber dann $x_1$ aus $x_2$ und $x_3$ berechnet werden muss. Ein Punkt der Ebene hat daher die Koordinaten:$$E:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}3x_2-4x_3-12\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3x_2\\x_2\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4x_3\\0\\x_3\end{array}\right)$$$$E:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}-12\\0\\0\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}3\\1\\0\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c}-4\\0\\1\end{array}\right)\quad;\quad x_2,x_3\in\mathbb{R}$$Beachte, dass eine Ebenengleichung in ihrer Parameterdarstellung nicht eindeutig ist. Man kann z.B. auch 3 beliebige Punkte wählen, die die Koordinatengleichung $-x_1+3x_2-4_3=12$ erfüllen, und mit diesen 3 Punkten dann eine Parameterform der Ebenengleichung bilden. Die Vektoren in der Parametergleichung hängen dann natürlich von den Punkten ab, die man gewählt hat.

Comments

vielen dank!

Answer 2

Setze zwei der Variablen in -x₁+3x₂-4x₃=12 gleich 0. Dann entstehen die Gleichungen -4x₃=12, 3x₂=12 und -x₁=12 und folglich die Punkte (0|0|-3), (0|4|0) und  (-12|0|0).

Answer 3

E: -x + 3·y - 4·z = 12

mit x = y = 0 ergibt sich
-0 + 3·0 - 4·z = 12 → z = -3

mit x = z = 0 ergibt sich
-0 + 3·y - 4·0 = 12 → y = 4

mit y = z = 0 ergibt sich
-x + 3·0 - 4·0 = 12 → x = -12

Man erhält daher folgende Spurpunkte der Ebene

(0 | 0 | -3) ; (0 | 4 | 0) ; (-12 | 0 | 0)