ich bin mir bei folgender Aufgabe etwas unsicher und würde mich sehr über Hilfe freuen:
Gegeben ist eine Funktion f : R→R , die zweimal stetig differenzierter sei. Des Weiteren sei a∈R mit f′(x0)=0 und f′′(x0)>0. Beweisen Sie, dass x0 ein lokales Minimum von f ist :
1. Begru¨nden Sie, dass ein Intervall [a;b] existiert, so dass f′′(x0)>0 fu¨r alle x∈[a;b].
2. Beweisen Sie, dass h→0limhf′(x0+h)>0.
3. Geben Sie eine Begru¨ndung an, weswegen f′(x0+h)>0 bei h>0 und f′(x0+h)<0 bei h<0 ist.
4. Gegeben seien α∈(a;x0) und β∈(x0,b).
Zeigen Sie mit der Anwendung des Mittelwertsatzes, dass f(x0)≤f(α) und f(x0)≤f(β).
5. Begru¨nden Sie nun mithilfe der vorhergegangenen Schritte, dass f(x0) ein lokales Minimum von f ist.
Bei der Aufgabe 1 habe ich folgendes geschrieben: Es gibt ein Intervall [a;b], da die Funktion zweimal stetig differenzierbar und daher ein Intervall bei x0 definiert ist. Ist das eine ausreichende Begründung?
Und auch bei den nächsten Aufgaben würde ich mich sehr über eine Korrektur freuen:
Meine Überlegung bei Aufgabe 2 war, den Limes zu vereinfachen, da ich ja letztlich zeigen muss, dass er > 0 ist. Dementsprechend habe ich mir gedacht, dass der Zähler bei dem Limes h gegen 0 größer als 0 sein muss, da ich mir hier einen Punkt ansehe, der "vor" meinem lokalen Minimum x0 liegt, und dort die Ableitung größer als null sein muss. Aber wie kann ich das beweisen?
Meine Lösung zur Aufgabe 3 ist folgende: Die Ableitung von f′(x0+h) fu¨r h>0 ist gro¨ßer als 0, da dabei die Sekante bei einem lokalen Minimum eine positive Ableitung aufweist, wa¨hrend bei h<0 eine negative Ableitung erkennbar ist. Das liegt an der Lage des Extrempunktes :
Bei einem lokalen Minimum wird deutlich, dass die Punkte "vor" und "hinter" diesem Extrempunkt ho¨her liegen, und dementsprechend die Ableitung der Punkte vor dem Extrempunkt eine negative Ableitung haben, die Punkte hinter diesem Extrempuntk eine positive.
Bei Aufgabe 4 und 5 weiß ich leider nicht wirklich, wie die Beweisführung aussehen muss.
Ich würde mich sehr über ein paar Hinweise freuen.
Vielen Dank im Voraus.