Beweisführung durch Vollständige Induktion. ∑ n^2>N^3/3

Question

Ich möchte beweisen das gilt ∑ n^2>N^3/3. In der Musterlösung steht für die Summe bis N: n^2 +(n+1)^2 > N^3/3  + (N+1)^2. Mir ist allerdings nicht ganz klar warum. Ich dachte man setzt beim Induktionsschritt für N, N+1 ein. Wieso addiere ich in diesem Beispiel einfach (N+1)^2?

Answer 1

 

>  Ich möchte beweisen das gilt n² > N³/3

Ich denke, das soll eher   \(\sum\limits_{n=1}^{N} n^2\)  > N³/3  heißen   ( = IV) 

A(N) →  A(N+1):

 \(\sum\limits_{n=1}^{N+1} n^2\) 

     =   \(\sum\limits_{n=1}^{N} n^2\) + (N+1)²    (der letzte Summand wird aus der Summe genommen)

     >_IV  N³/3 + (N+1)² 

     =   N³/3 + N² + 2N + 1  

                1/3 ausklamern:

     =   1/3 * (N³ + 3N² + 6N + 3)   

     >   1/3 * (N³ + 3N² + 3N + 1)     weil  6N > 3N und 3 > 1 

     =  1/3 * (N+1)³  

Gruß Wolfgang

Comments

Verbessere doch mal deinen Fehler.

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Ja das der letzte Summand aus der Summe gezogen wurde ist mir schon klar, ich verstehe nur nicht, warum ich auf der Rechten Seite N³/3 +(N+1)² stehen habe. Müsste da nicht (N+1)³/3 stehen?

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Ja, aber erst nachdem du einige Umformungen vorgenommen hast:

N³/3 +(N+1)²  >   (N+1)³/3    bleibt eben zu zeigen  

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Das Wort "bleibt" in deinem Kommentar bedarf der Interpretation.

Es ist richtig, dass wenn diese Ungleichung gezeigt werden kann, dass dann der Beweis erfolgreich abgeschlossen ist (und tatsächlich kann man sie ja mit ein paar Äquivalenzumformungen nachweisen).

Allerdings muss sie nicht zwingend nachgewiesen werden. Es ist durchaus möglich, dass diese letzte Ungleichung falsch ist, aber die zu zeigende Behauptung dennoch stimmt.

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Hatte diese weiteren Umformungen inzwischen in der Antwort ergänzt (obwohl die eigentliche Frage bereits beantwortet war)

Und  "Allerdings muss sie nicht zwingend nachgewiesen werden."

ist wohl für den Fragesteller mehr verwirrend als hilfreich.

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Das verstehe ich nicht ganz. Zu zeigen ist doch das n² +(N+1)> N³/3 + (N+1)² ist. Mir ist nur leider unklar, wieso nicht zu zeigen ist: n² +(N+1)> (N+1)³/3.

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Behauptung:

 A(N):  \(\sum\limits_{n=1}^{N} n^2\)  > N³/3    für alle N∈ℕ

A(1):  1² > 1³/3  ist wahr

A(N)  →  A(N+1)

zu zeigen:    \(\sum\limits_{n=1}^{N+1} n^2\) > (N+1)³ / 3

unter der Voraussetzung  \(\sum\limits_{n=1}^{N} n^2\)  > N³/3   (IV)  

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Damit wäre ich einverstanden, in meiner Lösung steht jedoch n² +(N+1)> N³/3 + (N+1)² . Ich verstehe nicht wie man darauf kommt,

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> ... in meiner Lösung steht jedoch n² +(N+1)> N³/3 + (N+1)²

In deiner Lösung steht wohl:

\(\sum\limits_{n=1}^{N} \) n² + (N+1)² >  N³/3 + (N+1)²

ansonsten wäre es Unsinn.

Und darauf kommt man:

\(\sum\limits_{n=1}^{N} \) n²  >  N³/3   ist die Induktionsvoraussetzung

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Ja genau. Mir ist dennoch nicht klar, wo der Faktor (N+1)² auf der rechten Seite herkommt.

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Addiere mal auf beiden Seiten der IV   (N+1)²  :-)

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Also ∑_n=1^N n² +(N+1)² > N³/3 +(N+1)² = >∑_n=1^N+1 = ∑_n=1^N n² +(N+1)² +(N+1) > (N+1)³/3 + (N+1)².

Meinst du das so? Ansonsten verstehe ich das nicht ganz....

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∑_n=1^N+1 = ∑_n=1^N n² +(N+1)² + (N+1) > (N+1)³/3 + (N+1)².

Was soll das denn sein? 

 ∑_n=1^N n²  > (N+1)³/3     IV !     | + (n+1)²

 ∑_n=1^N n² + (n+1)²  >  (N+1)³/3  + (n+1)²

^{Die linke Seite ist}   ∑_n=1^N+1 n²

Die rechte Seite  soll > (N+1)³ / 3   sein

Warum Letzteres so ist, steht in der Anwort nun wirklich Schrittchen für Schrittchen.

Wenn jetzt noch Fragen sind, dann bitte genau bei welchem Schritt in der Anwort!

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Warum geht bei deiner Gleichung IV die Summe nur bis N und nicht bis N+1? Du meintest doch vorhin ich soll mit (N+1)² addieren. Möchtest du vielleicht das ganze Beispiel von Beginn an Schritt für Schritt durchrechnen? Vielleicht versteh ich es dann.

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Die IV gilt für N, nicht für N+1

Das "Beispiel" ist in der Antwort von Beginn an vorgerechnet (zumindest der Schluss von N auf N+1 )

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Dann liegt vielleicht ein genereller Fehler vor. Wenn ich zu Beginn die Summe um 1 erhöhe, komme ich auf n² + (N+1)² .

Was geschieht nun aber auf der rechten Seite? Ich dachte ich füge für N, N+1 ein, sodass ich auf (N+1)³ /3 kommen würde. Muss ich jedoch einfach auf der rechten Seite (N+1)² addieren weil ich es auf der linken Seite auch gemacht habe?

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Muss ich jedoch einfach auf der rechten Seite (N+1)² addieren weil ich es auf der linken Seite auch gemacht habe?

Ja.

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Das heißt ich erhöhe nur die Summe um 1. Mehr mach ich bei der Induktion nicht?

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Ja, du erhöhst N um 1 auf N+1

Genauer:

Voraussetzung:  \(\sum\limits_{n=1}^{N} n^2\)  > N³/3   (IV)  

zu zeigen:    \(\sum\limits_{n=1}^{N+1} n^2\) > (N+1)³ / 3

Aber das steht oben schon

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Genau den letzten Teil verstehe ich nicht!

Wie komme ich von ∑_n=1^N+1 n² > (N+1)³ /3

auf:  ∑_n=1^N n² +(N+1)² > N³/3 +(N+1)² ?

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Der Schluss verläuft  umgekehrt:

Es gilt:

 ∑_n=1^N+1 n²  =  ∑_n=1^N n² + (N+1)²  >_IV  N³/3 + (N+1)²   

   ..... _{vgl. Antwort}  > (N+1)³ /3

und genau das muss man zeigen! 

Vielleicht solltest du dir jetzt endlich mal die Antwort vornehmen und Schritt für Schritt überlegen, was du da eigentlich nicht verstehst!

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Ich denke ich hab das jetzt verstanden, danke!