Modellierung mit Baumdiagramm

Question

Liebe Lounge,

eine kurze Frage zur Modellierung mit Hilfe eines Baumdiagramms.

Wenn ich ein Zufallsexperiment betrachte, welches aus n unabhängigen Teilexperimenten besteht, z.B.

E1: Es wird ein sechsseitiger Spielwürfel geworfen.

E2: Es wird eine faire Münze geworfen.

E3: Es wird aus einer Urne mit 3 weißen und 2 blauen Kugeln einmal gezogen und die Kugel wieder zurückgelegt.

Diesen Versuch könnte ich doch jetzt mit einem dreistufigen Baumdiagramm modellieren. Warum ist es jetzt egal, in welcher Reihenfolge ich die Stufen anordne? Ich könnte ja z.B: Stufe 1: E2, Stufe 2: E1 und Stufe 3: E3 setzen.

Warum reicht dieses Baumdiagramm jetzt aus und ich muss nicht auch noch für die anderen möglichen Reihenfolgen eines anlegen?

Wahrscheinlich habe ich im Hinterkopf, dass wenn die Reihenfolge nicht beachtet wird, verschiedene Ergebnisse zum Ereignis dazuzählen. Das hat aber nichts damit zu tun, dass ich mehrere Baumdiagramme habe oder?

Sprich: Die Aufgabe unterscheidet sich im Prinzip nicht von einem Experiment, in dem steht "Es wird ZUERST ein Würfel geworfen, DANN eine Münze und ZUM SCHLUSS aus der Urne gezogen?

Vielen Dank :)

Answer 1

Warum reicht dieses Baumdiagramm jetzt aus und ich muss nicht auch noch für die anderen möglichen Reihenfolgen eines anlegen?

Kannst du begründen das die einzelnen Stufen unabhängig voneinender sind?

Wenn sie unabhängig sind, ist es egal in welcher Reihenfolge sie durchgeführt werden.

Und ob du bei E3 jetzt die Kugel zurücklegst oder nicht ist eh egal oder nicht? Es wird ja nur einmal daraus gezogen.

Comments

Okay.

Vielleicht klingt das folgende für dich absurd:

Angenommen wir betrachten nur E1 und E2 in einem Zufallsexperiment.

Wenn jetzt gefragt ist nach dem Ereignis A: "Es wird eine sechs gewürfelt und die Münze zeigt Kopf".

Warum ist jetzt nicht: P(A)= 1/6*1/2 + 1/2*1/6 ?!

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Erste Pfadregel. Es werden nur im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.

Also

P(A) = 1/6 * 1/2

oder auch

P(A) = 1/2 * 1/6

Je nachdem welches Baumdiagramm man gezeichnet hat.

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Ja und genau das ist jetzt meine Unsicherheit. Warum repräsentiert nur ein Baumdiagramm das Ganze und man muss nicht zwei betrachten?

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Stell dir vor du hast 2 T-Shirts (ein weißes und ein schwarzes) und zwei Hosen (eine weiße und eine schwarze).

Wie viel Möglichkeiten hast du dich einzukleiden? Und ist es dabei egal ob du zuerst das T-Shirt oder die Hose anziehst.

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Ich habe 2 mal 2 Möglichkeiten.

Es ist egal, weil beide Reihenfolgen das gleiche Eegbnis darstellen?

Weiße Hose und schwarzes T Shirt ist das gleiche wie Schwarzes t Shirt und weiße Hose?

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Genau. Du hast 2 Möglichkeiten ein T-Shirt zu nehmen und 2 Möglichkeiten eine Hose zu nehmen. Also insgesamt 2 * 2 = 4 Möglichkeiten.

Uns interessiert hier ja nur das Ergebnis wie du rum läufst und nicht in welcher Reihenfolge du dich dabei noch angezogen hast.

Was du hier benutzt ist das Fundamentalprinzip der Kombinatorik. Im Grunde ist das genau die Pfadregel bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nur das hier Möglichkeiten und nicht Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden. Aber eine Wahrscheinlichkeit kann man sich ja auch als Bruch vorstellen, bei dem im Zähler und Nenner eine Anzahl an Möglichkeiten steht.